exponentialgrowthcalculator.com

حاسبة النمو الأسي

أدخل قيمة ابتدائية، ومعدل نمو، وعدد فترات لترى القيمة النهائية وعامل النمو وزمن التضاعف والمنحنى المرسوم يتحدّث أثناء الكتابة.

حاسبة النمو الأسي

المدخلات

الكمية عند الزمن صفر
%
القيم السالبة تحسب الاضمحلال
سنوات، أشهر، أيام، أي وحدة
نموذج النمو

النتائج

القيمة النهائية x(t) 1,967.15 بعد 10 فترة بمعدل 7%
عامل النمو 1.0700 ×1.967 إجمالاً خلال t
زمن التضاعف 10.24 فترة للتضاعف

التعويض خطوة بخطوة

يعوّض كل سطر أدناه الأرقام الموجودة حاليًا في الحقول أعلاه في صيغة النمو الأسي، عملية واحدة في كل مرة.

  1. الصيغةx(t) = x0 × (1 + r)t
  2. التعويضx(10) = 1,000 × (1 + 0.07)10
  3. عامل النموx(10) = 1,000 × (1.07)10
  4. حساب القوةx(10) = 1,000 × 1.967151
  5. النتيجةx(10) = 1,967.15

منحنى النمو

القيم حسب كل فترة

الفترة t القيمة x(t) التغيّر
0 1,000.00 N/A
1 1,070.00 +70.00
2 1,144.90 +74.90
3 1,225.04 +80.14
4 1,310.80 +85.75
5 1,402.55 +91.76
6 1,500.73 +98.18
7 1,605.78 +105.05
8 1,718.19 +112.40
9 1,838.46 +120.27
10 1,967.15 +128.69

ماذا يُظهر المنحنى والجدول: عند الإعدادات الافتراضية، 1,000 وحدة تنمو بمعدل 7% لكل فترة على مدى 10 فترات، يبدأ الخط المرسوم شبه مستوٍ عند الفترة 0 ثم يزداد انحدارًا باستمرار نحو اليمين، لينتهي عند 1,967.15. لا ينحني المنحنى إلى الأسفل مطلقًا ولا يستقيم أبدًا، وهذا هو الطابع البصري المميز للنمو الأسي. يوضح الجدول المجاور السبب: يبدأ عمود التغيّر بـ 70.00+ في الفترة 1 ويصل إلى 128.72+ بحلول الفترة 10، أي أن المعدل نفسه البالغ 7% يضيف مقدارًا مطلقًا أكبر في كل فترة لأن القاعدة التي يُطبَّق عليها تكبر باستمرار. اجعل المعدل سالبًا وينقلب الخط نفسه إلى منحنى اضمحلال هابط نحو الصفر، وهذه هي الطريقة التي تغطي بها حاسبة رسم الدوال الأسية هذه كلا الاتجاهين بعنصر تحكم واحد.

تعريف

ما هو النمو الأسي؟

النمو الأسي هو نمو تكون فيه الكمية المضافة في كل فترة متناسبة مع الكمية الموجودة بالفعل، بحيث تُضرب الكمية في عامل نمو ثابت بدلاً من أن تُزاد بمقدار ثابت.

هذه الخاصية الوحيدة هي ما يميز النمو الأسي عن كل نوع آخر من النمو. رصيد ادخار يكسب 4% سنويًا يكتسب دولارات أكثر في سنته العشرين مما يكتسبه في سنته الأولى، رغم أن المعدل لم يتغير أبدًا، لأن 4% من رصيد أكبر رقم أكبر.

عند رسمه مقابل الزمن، يرسم النمو الأسي منحنى على شكل حرف J. يبدو الجزء الأيسر من المنحنى شبه مستوٍ ويسهل الخلط بينه وبين تغيّر خطي بطيء. أما الجزء الأيمن فيرتفع بشدة ويستمر في الازدياد انحدارًا، لأن الميل عند أي نقطة يتناسب مع الارتفاع عند تلك النقطة. لا يوجد انحناء علوي ولا سقف في النموذج النقي. يستمر المنحنى في الصعود طالما استمر t في الازدياد. تقوم حاسبة المنحنى الأسي برسم هذا الشكل مباشرة من المدخلات الثلاثة، مما يجعل الانحناء مرئيًا بلمحة بدلاً من كونه ضمنيًا في عمود من الأرقام.

المحرّك الكامن وراء ذلك هو عامل النمو الثابت: الرقم الثابت الذي تُضرب فيه الكمية كل فترة. معدل 4% يعني عامل نمو قدره 1.04، يُطبَّق مرة واحدة كل فترة، إلى ما لا نهاية. عشر فترات من ذلك تنتج مضاعِفًا إجماليًا قدره 1.0410 = 1.4802، وليس 1.40، والفرق البالغ 0.0802 هو التراكم الذي يلتقطه النموذج الضربي ويغفله النموذج الجمعي. أي حاسبة للزيادة الأسية تقوم بهذه العملية الواحدة بشكل متكرر.

يعمل النمو الأسي أيضًا بالاتجاه المعاكس. جعل المعدل سالبًا يحوّل عامل النمو إلى رقم بين 0 و1، والضرب المتكرر في رقم كهذا يقلّص الكمية بدلاً من تكبيرها. ينقلب منحنى الـ J إلى منحنى هابط يتسطّح كلما اقترب من الصفر. لا تتغير المعادلة على الإطلاق، بل تتغير فقط إشارة r، وهذا هو سبب معاملة النمو والاضمحلال كموضوع واحد بدلاً من موضوعين. صيغة الزيادة الأسية وصيغة الاضمحلال هما نفس التعبير مقروءًا بإشارة مختلفة.

الشرط الجدير بالتذكر هو التناسب. تكون العملية أسية عندما يُذكر معدلها كنسبة مئوية لكل فترة وليس كوحدات لكل فترة. مصنع يضيف 500 وحدة شهريًا لا ينمو أسيًا، مهما كبر الرقم. أما مزرعة خلايا يرتفع عددها 8% كل ساعة فهي كذلك، مهما صغر الرقم.

المعادلة

صيغة النمو الأسي

صيغة النمو الأسي هي x(t) = x0(1 + r)t للنمو المطبَّق في فترات منفصلة، وx(t) = x0ekt للنمو المطبَّق بشكل مستمر. تصف كلتا الصيغتين نفس عائلة المنحنيات؛ ولا تختلفان إلا في عدد مرات تطبيق المعدل. كل حاسبة لصيغة النمو في هذا الموقع مبنية على أحد هذين التعبيرين.

منفصل، يُركَّب لكل فترة
x(t) = x0(1 + r)t

استخدم هذا عندما يقع النمو في خطوات محددة: دفعة فائدة سنوية، رقم إيراد ربع سنوي، تعداد سكاني سنوي. يُطبَّق المعدل مرة واحدة في نهاية كل فترة كاملة.

مستمر، يُركَّب في كل لحظة
x(t) = x0ekt

استخدم هذا عندما لا يكون للنمو حجم خطوة طبيعي: الاضمحلال الإشعاعي، مزرعة بكتيرية، فقدان الحرارة. الثابت e = 2.71828… هو نهاية التركيب مع اقتراب طول الفترة من الصفر.

المتغيرات في معادلة النمو الأسي
الرمزالاسمما يمثلهمثال
x(t) القيمة النهائية الكمية بعد مرور t فترة. هذا هو ناتج الحساب. 3,972 مشتركًا
x0 القيمة الابتدائية الكمية عند t = 0، قبل تطبيق أي نمو. تُكتب أحيانًا P أو N₀ أو a. 2,400 مشترك
r معدل النمو الدوري التغيّر النسبي لكل فترة، كعدد عشري. موجب للنمو، سالب للاضمحلال. 0.065 (أي 6.5%)
k ثابت النمو المستمر المعدل اللحظي المستخدم في الصيغة القائمة على e. يُسمى أيضًا ثابت النمو. 0.06297 لكل فترة
t الزمن المنقضي عدد الفترات التي مرّت. الوحدة هي أيًا كانت الوحدة التي ذُكر بها المعدل. 8 أشهر
e ثابت أويلر الثابت الرياضي 2.718281828…، أساس النمو الأسي الطبيعي. 2.71828

ماذا يُظهر الجدول: تغطي الصفوف الستة كل رمز يمكن أن تحتويه أي من صيغتي معادلة النمو، مقترنًا بالقيمة التي يأخذها ذلك الرمز في المثال المحلول لاحقًا في هذه الصفحة. ثلاثة فقط من الستة، x0 وr وt، تُدخَل يدويًا. أما x(t) فهو النتيجة، وe ثابت محدد، وk تُشتق من r بدلاً من إدخالها.

تتصل الصيغتان عبر k = ln(1 + r)، وبالعكس عبر r = ek − 1. فمعدل منفصل قدره 6.5% لكل فترة يقابله إذن ثابت نمو مستمر قدره ln(1.065) = 0.06297، وتعويض أي من القيمتين في معادلتها الخاصة ينتج نفس المنحنى تمامًا. معاملة حلّال المعادلة الأسية كأداة واحدة بدلاً من أداتين لا يكون ممكنًا إلا بفضل هذا التحويل.

الصيغة x لـ t تساوي x تحت الصفر مضروبة في قوس مفتوح واحد زائد r قوس مغلق مرفوعة إلى القوة t. تحدد خطوط الإشارة x لـ t كونها القيمة النهائية بعد مرور t فترة، وx تحت الصفر كونها القيمة الابتدائية عند الزمن صفر، والمقدار بين قوسين واحد زائد r كونه عامل النمو، والأس t كونه عدد الفترات الزمنية. x(t) = x0 (1 + r) t القيمة النهائية المقدار بعد t فترة الفترات الزمنية مدة استمرار النمو القيمة الابتدائية المقدار عند t = 0 عامل النمو 1 + r، مع r كعدد عشري

ماذا يُظهر الرسم: يفكك الرسم صيغة النمو الأسي إلى أجزائها الأربعة العاملة. على اليسار، x(t) هو الناتج، المقدار الذي يُصل إليه بعد مرور t فترة. الحد x0 مباشرة بعد علامة يساوي هو القيمة الابتدائية التي ينطلق منها الحساب. الحد بين قوسين (1 + r)، المميَّز بالقوس الأخضر، هو عامل النمو: الرقم الواحد الذي تُضرب فيه الكمية مرة واحدة كل فترة. أما t المرفوعة أقصى اليمين فهي الأس، وتعدّ عدد مرات حدوث ذلك الضرب. لذا فإن قراءة الصيغة من اليسار إلى اليمين تعطي الجملة "القيمة النهائية تساوي القيمة الابتدائية مضروبة في عامل النمو، t مرة."

اصطلاح الإشارة

النمو الأسي مقابل الاضمحلال الأسي

الفرق بين النمو الأسي والاضمحلال الأسي هو إشارة المعدل، ولا شيء غيرها: يستخدم النمو معدلًا r موجبًا وعامل نمو أكبر من 1، بينما يستخدم الاضمحلال معدلًا سالبًا وعامل نمو بين 0 و1. معادلة واحدة تغطي الحالتين، وهذا هو سبب عدم حاجة حاسبة النمو والاضمحلال إلى وضعين منفصلين.

مكتوبةً بالكامل، صيغة الاضمحلال هي x(t) = x0(1 − r)t عندما تُعطى r كمعدل اضمحلال موجب، أو x(t) = x0(1 + r)t عندما تحمل r إشارتها السالبة بالفعل. تنتج الصيغتان نفس النتيجة تمامًا: مع خسارة 4% لكل فترة، فإن (1 − 0.04) و(1 + (−0.04)) كلاهما 0.96. الصيغة المستمرة هي x(t) = x0e−kt، حيث تؤدي الإشارة السالبة في الأس نفس الدور الذي يؤديه العامل الأصغر من 1 في النسخة المنفصلة.

عامل نمو أكبر من 1 يُنمّي الكمية. وعامل يساوي 1 تمامًا يجمّدها. وبين 0 و1 يؤدي إلى الاضمحلال. هذا الرقم الواحد هو ما يحدد اتجاه المنحنى بأكمله.

يهم اصطلاح الإشارة لأن طريقتي كتابة الاضمحلال يسهل تطبيقهما مرتين عن طريق الخطأ. إدخال r = −4 في حقل يحمل تسميته بالفعل عبارة "معدل الاضمحلال" ينتج (1 − (−0.04)) = 1.04 ويعطي نموًا. تحل هذه الحاسبة هذا الالتباس بطلب معدل نمو واحد موقّع ولا شيء غيره: اكتب 4 للنمو، واكتب −4 للاضمحلال، وتُبلغ الأداة عن زمن التضاعف في الحالة الأولى وعمر النصف في الحالة الثانية. يجب على أي حاسبة للنمو الأسي والاضمحلال أن تختار اصطلاحًا واحدًا وتوضحه، وحقل واحد موقّع هو الاصطلاح الذي يحمل أقل عدد من طرق الفشل.

يتصرف الاتجاهان بشكل مختلف عند حدودهما، رغم أنهما يشتركان في معادلة واحدة. لا يوجد للنمو الأسي حد أعلى؛ فمع ازدياد t، تزداد x(t) دون حد. أما الاضمحلال الأسي فله حد أدنى لا يصل إليه أبدًا: الضرب المتكرر في 0.96 يجعل الكمية أصغر إلى الأبد لكنه لا ينتج صفرًا أبدًا، فيقترب المنحنى من المحور الأفقي دون أن يلامسه. عمليًا، عادةً ما يُوقَف حساب الاضمحلال عند عتبة معينة، 1% متبقٍ، أو وحدة واحدة يمكن اكتشافها، بدلاً من تشغيله حتى الاكتمال.

ثمة حد جدير بالذكر صراحة. في النموذج المنفصل، تجعل r = −100% عامل النمو يساوي 0 تمامًا، فتنخفض الكمية إلى لا شيء في فترة واحدة وتبقى كذلك. المعدلات الأقل من −100% تعني ضمنيًا خسارة أكثر من الكمية بأكملها، لذا تعامل حاسبة الاضمحلال والنمو المنفصلة هذه المعدلات على أنها غير معرّفة بدلاً من إرجاع نتيجة بإشارة منقلبة. أما الصيغة المستمرة فليس لها حد كهذا، لأن e−kt تبقى موجبة لأي k وt منتهيتين.

الطريقة

كيفية حساب النمو الأسي

لحساب النمو الأسي، حوّل معدل النسبة المئوية إلى عدد عشري، وأضف 1 للحصول على عامل النمو، ثم ارفع ذلك العامل إلى قوة تساوي عدد الفترات المنقضية، ثم اضربه في القيمة الابتدائية. تطبّق الخطوات الـ 5 أدناه صيغة معدل النمو الأسي بالترتيب الذي تقيّمها به الحاسبة.

  1. اكتب القيمة الابتدائية

    حدّد x₀، وهي الكمية الموجودة قبل حدوث أي نمو. هذه هي القيمة عند t = 0، وكل قيمة لاحقة هي من مضاعفاتها.

  2. حوّل معدل النمو إلى عدد عشري

    اقسم معدل النسبة المئوية على 100. معدل 6.5% لكل فترة يصبح r = 0.065. احتفظ بالإشارة: انخفاض بنسبة 6.5% يصبح r = −0.065.

  3. أضف 1 للحصول على عامل النمو

    احسب 1 + r. مع r = 0.065 يكون عامل النمو 1.065. هذا الرقم الواحد هو ما تُضرب فيه الكمية مرة واحدة كل فترة.

  4. ارفع عامل النمو إلى القوة t

    احسب (1 + r)^t، حيث t تعدّ الفترات المنقضية. مع عامل قدره 1.065 على مدى 8 فترات، فإن 1.065^8 = 1.654996. هذا هو المضاعِف الإجمالي للمدة كاملة.

  5. اضرب القيمة الابتدائية في المضاعِف الإجمالي

    اضرب x₀ في نتيجة الخطوة 4 للحصول على x(t). بدءًا من 2,400 وحدة، 2,400 × 1.654996 = 3,972 وحدة بعد 8 فترات.

مثال محلول، مشتركو نشرة إخبارية

لدى نشرة إخبارية تقنية 2,400 مشترك وتضيف 6.5% شهريًا لمدة ثمانية أشهر متتالية. تعطي معادلة معدل النمو عدد المشتركين في نهاية الشهر الثامن.

x0
2,400 مشترك
r
6.5% → 0.065
t
8 أشهر
x(t) = x0(1 + r)tx(8) = 2,400 × (1 + 0.065)8x(8) = 2,400 × (1.065)8x(8) = 2,400 × 1.654996x(8) = 3,971.99 مشترك

نمت القائمة بمقدار 1,571.99 مشترك، أي زيادة إجمالية قدرها 65.5% على مدى الأشهر الثمانية. ضرب 6.5% في 8 كان سيتنبأ بنسبة 52%، أي أقل من النتيجة الفعلية بـ 13.5 نقطة مئوية، وهو التراكم الذي يغفله التقدير الجمعي. بهذا المعدل تتضاعف القائمة كل 11.01 شهرًا.

النمو شهرًا بشهر: 2,400 مشترك بمعدل 6.5% شهريًا
الشهر tالمشتركون x(t)المضاف ذلك الشهرالمضاعِف الإجمالي
0 2,400.00 N/A 1.0000
1 2,556.00 +156.00 1.0650
2 2,722.14 +166.14 1.1342
3 2,899.08 +176.94 1.2079
4 3,087.52 +188.44 1.2865
5 3,288.21 +200.69 1.3701
6 3,501.94 +213.73 1.4591
7 3,729.57 +227.63 1.5540
8 3,971.99 +242.42 1.6550

ماذا يُظهر الجدول: عمود "المضاف" هو الدليل على أن هذا النمو أسي وليس خطيًا. يضيف الشهر 1 عدد 156.00 مشتركًا ويضيف الشهر 8 عدد 242.66. بقيت النسبة ثابتة عند 6.5% بينما ارتفعت الزيادة المطلقة بمقدار 86.66 شهريًا، لأن نسبة كل شهر تُطبَّق على قاعدة أكبر من الشهر السابق. يرتفع عمود المضاعِف الإجمالي من 1.0000 إلى 1.6550، وهذا الرقم النهائي مضروبًا في العدد الابتدائي يعيد إنتاج الإجابة.

ثوابت الزمن

فهم زمن التضاعف وعمر النصف

زمن التضاعف وعمر النصف هما ثابتا الزمن للعملية الأسية: زمن التضاعف هو المدة التي تحتاجها كمية متنامية للوصول إلى ضعف حجمها، وعمر النصف هو المدة التي تحتاجها كمية متضائلة للانخفاض إلى نصف حجمها. يعتمد كلاهما على المعدل فقط، ولا يعتمدان أبدًا على القيمة الابتدائية، وهذا ما يجعلهما مفيدين كملخصين برقم واحد.

زمن التضاعف

زمن التضاعف هو الزمن اللازم لكي تصل كمية إلى 2× قيمتها الابتدائية تمامًا. جعل x(t) = 2x0 وحل المعادلة لإيجاد t يُزيل x0 تمامًا، وهذا هو سبب استقلال الإجابة عن الحجم.

t2 = ln(2) / r ≈ 0.693 / r

هذه الصيغة دقيقة للنمو المستمر. أما بالنسبة للتركيب المنفصل فالصيغة الدقيقة هي t2 = ln(2) / ln(1 + r)، ويصبح التعبير الأبسط تقديرًا أقل من الواقع بقليل.

مثال، حجم تخزين السجلات
المعدل: 4.2% شهريًامستمر: 0.693 / 0.042 = 16.50 شهرًامنفصل: 0.693 / ln(1.042) = 0.693 / 0.041140t₂ = 16.85 شهرًا

مجموعة خوادم تكتب 4.2% بيانات سجلات إضافية كل شهر تضاعف مساحة تخزينها كل 16.85 شهرًا. الاختصار 0.693/r يعطي هنا رقمًا أقل بمقدار 0.35 شهرًا، ويتسع خطؤه مع ارتفاع المعدل.

عمر النصف

عمر النصف هو الصورة المعاكسة: الزمن اللازم لكي تنخفض كمية إلى نصف قيمتها الابتدائية تمامًا. الصيغة مطابقة باستثناء أخذ القيمة المطلقة للمعدل، بحيث تبقى النتيجة موجبة.

t½ = ln(2) / |r|

بالنسبة للاضمحلال المنفصل فالصيغة الدقيقة هي t½ = ln(0.5) / ln(1 + r)، مع كون r سالبة. كلا اللوغاريتمين سالب، لذا خارج قسمتهما موجب.

مثال، عينة نظير مشع
العينة: 640 غرامًا تفقد 3.8% يوميًامستمر: 0.693 / 0.038 = 18.24 يومًامنفصل: ln(0.5) / ln(0.962) = −0.693 / −0.038740t½ = 17.89 يومًا

التحقق من النتيجة: 640 × 0.962<sup>17.89</sup> = 640 × 0.5002 = 320.1 غرام، وهو نصف العينة الأصلية. بعد 17.89 يومًا إضافية، يتبقى 160 غرامًا.

زمن التضاعف حسب معدل النمو، الفترات اللازمة للوصول إلى 2×
معدل النمو r 1%3%5%7%10%
دقيق، منفصل
ln2 / ln(1+r)		 69.723.414.210.27.3
تقريبي، مستمر
0.693 / r		 69.323.113.99.96.9
قصور التقريب −0.3−0.3−0.3−0.3−0.3

ماذا يُظهر الجدول: ينخفض زمن التضاعف بشدة عند المعدلات المنخفضة ثم يتسطّح. الانتقال من 1% إلى 3% يقلّص زمن التضاعف من 69.7 فترة إلى 23.4، توفير قدره 46.2 فترة مقابل 2 نقطة مئوية. أما الانتقال من 7% إلى 10% فلا يوفر سوى 3.0 فترات مقابل 3 نقاط مئوية. العلاقة عكسية وليست خطية، لذا فإن تحسينات المعدل المبكرة توفر وقتًا أكثر بكثير من التحسينات اللاحقة. يُظهر الصف السفلي أن اختصار 0.693/r يبتعد تدريجيًا أكثر تحت الرقم الدقيق مع ارتفاع المعدل، وهذا هو سبب وجوب استخدام أي حاسبة لمعدل النمو الأسي الصيغة اللوغاريتمية. حل المعادلة مباشرة لإيجاد t باستخدام حاسبة زمن التضاعف، أو انطلق من عمر نصف معروف باستخدام أداة عمر النصف المخصصة.

مقارنة

النمو الأسي مقابل النمو الخطي

يضرب النمو الأسي في عامل ثابت كل فترة، بينما يضيف النمو الخطي مقدارًا ثابتًا كل فترة. ينتج عن هذا الفرق منحنى في الحالة الأولى وخط مستقيم في الحالة الثانية، وتتسع الفجوة بينهما دون حد مع ازدياد الزمن.

الفروق البنيوية بين نموذجي النمو
الخاصيةالنمو الخطيالنمو الأسي
المعادلة x(t) = x₀ + mt x(t) = x₀(1 + r)t
العملية لكل فترة تضيف مقدارًا ثابتًا m تضرب في عامل ثابت 1 + r
المعدل يُذكر كـ وحدات لكل فترة نسبة مئوية لكل فترة
الشكل على محاور عادية خط مستقيم منحنى J متصاعد الانحناء
الشكل على محور y لوغاريتمي منحنى يتسطّح خط مستقيم
الزيادة المطلقة عبر الزمن ثابتة كل فترة تكبر كل فترة
سلوك التضاعف كل تضاعف يستغرق وقتًا أطول من سابقه كل تضاعف يستغرق نفس الوقت
النتيجة على المدى الطويل قابلة للتنبؤ ومحدودة بالأفق الزمني تتجاوز أي نموذج خطي بمرور وقت كافٍ
الخطي عند t = 10 3,300 تُضاف 180 وحدة كل فترة
الأسي عند t = 10 4,658.77 يُطبَّق ×1.12 كل فترة
الفجوة عند t = 10 +1,358.77 بدأ كلا النموذجين من نفس القيمة 1,500 وحدة
كلا النموذجين ينطلقان من 1,500 وحدة، الخطي يضيف 180/فترة، والأسي يضرب في 1.12
الفترة tالخطي (+180)الأسي (×1.12)الفرق
0 1,500.00 1,500.00 +0.00
1 1,680.00 1,680.00 +0.00
2 1,860.00 1,881.60 +21.60
3 2,040.00 2,107.39 +67.39
4 2,220.00 2,360.28 +140.28
5 2,400.00 2,643.51 +243.51
6 2,580.00 2,960.73 +380.73
7 2,760.00 3,316.02 +556.02
8 2,940.00 3,713.94 +773.94
9 3,120.00 4,159.62 +1,039.62
10 3,300.00 4,658.77 +1,358.77

ماذا تُظهر المقارنة: يبدأ النموذجان عند 1,500 وحدة ويصلان كلاهما إلى 1,680 بعد فترة واحدة، لأن 12% من 1,500 تساوي بالضبط 180 وحدة التي يضيفها النموذج الخطي. ومن الفترة 2 فصاعدًا يفترقان. يتقدم العمود الأسي بفارق 21.60 عند الفترة 2، و243.51 عند الفترة 5، و1,358.77 عند الفترة 10، حيث يبلغ المجموعان 3,300 مقابل 4,658.77. يرتفع العمود الخطي بنفس الـ 180 وحدة في كل صف بينما تكبر زيادة العمود الأسي من 200.00 إلى 499.15. اختيار النموذج الخاطئ غير ضار على مدى فترة أو فترتين لكنه شديد الخطورة على مدى عشر فترات.

التطبيقات

تطبيقات من الواقع

يصف النمو الأسي 6 فئات مختلفة من العمليات الواقعية، مدرجة في الألسنة أدناه. تعطي كل لوحة الصيغة المحددة للمعادلة التي يستخدمها ذلك المجال، متبوعة بحساب محلول بالكامل بأرقامه الخاصة.

الفائدة المركبة تنمو أسيًا

الفائدة المركبة هي أكثر أشكال النمو الأسي شيوعًا التي يصادفها معظم الناس، لأن الفائدة المضافة في فترة واحدة تكسب فائدة في كل فترة لاحقة. صيغة البنوك A = P(1 + r/n)nt هي صيغة النمو الأسي المنفصل مع تقسيم المعدل السنوي على n حدث تركيب في السنة. اجعل n = 1 وستؤول تمامًا إلى x(t) = x0(1 + r)t.

7,200 دولار كأصل رأس المال · 5.4% سنويًا · 15 سنة
A = 7,200 × 1.05415 = 7,200 × 2.200945 = 15,846.80 دولارًا
الفائدة المكتسبة: 8,646.80 دولارًا، أكثر من رأس المال نفسه

اعمل بنفس الأرقام في حاسبة الفائدة المركبة لتغيير تكرار التركيب، أو نمذج المساهمات عبر الزمن باستخدام إسقاطات رصيد المدخرات.

اختيار النموذج

النمو الأسي المستمر مقابل المنفصل

يطبّق النمو الأسي المستمر المعدل في كل لحظة ويستخدم x(t) = x0ekt، بينما يطبّق النمو الأسي المنفصل المعدل كاملاً مرة واحدة كل فترة ويستخدم x(t) = x0(1 + r)t. الاختيار بينهما مسألة تتعلق بطبيعة العملية التي يجري نمذجتها، وليست مسألة تفضيل رياضي.

صيغة النمو المستمر هي نهاية الصيغة المنفصلة مع تقلّص فترة التركيب نحو الصفر. خذ معدلًا سنويًا 12% وركّبه مرة واحدة، يكون المضاعِف الإجمالي 1.12. ركّبه شهريًا، كـ (1 + 0.12/12)12، ويصبح 1.12683. التركيب اليومي يعطي 1.12747. أما كل لحظة فتعطي e0.12 = 1.12750، ولا يمكن لأي مزيد من التقسيم أن يتجاوز ذلك. معادلة النمو المستمر هي السقف الذي يتقارب إليه التركيب الأدق فالأدق.

استخدم الصيغة المنفصلة عندما يكون للعملية فترات حقيقية بالفعل. بنك يضيف الفائدة في آخر يوم من كل ربع، شركة تُبلغ عن إيراداتها ربع سنويًا، تعداد يُجرى مرة كل سنة. في كل هذه الحالات تكون الكمية ثابتة فعلاً بين الأحداث ثم تقفز. نمذجتها بشكل مستمر تخترع نموًا لم يحدث بعد.

استخدم الصيغة المستمرة عندما لا توجد فترة طبيعية. النوى المشعة لا تنتظر منتصف الليل لتضمحل، والبكتيريا لا تنقسم في تناغم كل ساعة، والحرارة لا تغادر جسمًا على أقساط يومية. بالنسبة لهذه الحالات، النمو الأسي المستمر هو الوصف الدقيق والنسخة المنفصلة هي التقريب. معدل النمو المستمر k أيضًا أسهل في التعامل معه جبريًا، لأن الأسس تُجمع: يُضرب مداران متتاليان كـ ek·t₁ × ek·t₂ = ek(t₁+t₂).

الفجوة العددية بين الصيغتين صغيرة عند المعدلات المنخفضة وكبيرة عند المرتفعة. عند معدل 1% تتجاوز النتيجة المستمرة النتيجة المنفصلة بنحو 0.005% من الإجمالي. لا يمكن ملاحظتها في معظم الأعمال. عند 20% يصل الفرق إلى نحو 1.9%، وعند 100% يعطي الشكل المنفصل مضاعِفًا قدره 2 بينما يعطي الشكل المستمر e = 2.718، أي تباعد قدره 36%. لذا يجب على أي حاسبة لنموذج النمو الأسي أن توضح أي اصطلاح تستخدمه، وهذه الحاسبة تعرض الاختيار كمفتاح تبديل مرئي بدلاً من إخفائه. يُغطَّى معدل النمو المستمر وتحويلاته بمزيد من التفصيل في حاسبة النمو المستمر، ويشرح مرجع الدالة الأسية الجبر الكامن وراء الصيغتين.

حدود النموذج

النمو الأسي مقابل النمو اللوجستي

يبدأ منحنيان معًا في أسفل اليسار بنفس الميل. يستمر المنحنى الأسي في الازدياد انحدارًا ويغادر أعلى الرسم البياني دون أن يتسطّح أبدًا. يرتفع المنحنى اللوجستي إلى جانبه، وينحني عند نقطة انعطافه حيث يتجاوز نصف الطاقة الاستيعابية، ثم يتسطّح مقابل خط أفقي متقطع يمثل الطاقة الاستيعابية K. يبقى المنحنى الأسي أعلى من المنحنى اللوجستي عند كل نقطة بعد البداية. K الطاقة الاستيعابية K الزمن t الكمية x أسي لوجستي نقطة انعطاف عند K/2

ماذا يُظهر الرسم: يغادر المنحنيان نقطة الأصل بنفس الميل، وهذا هو سبب عدم إمكانية تمييز التجمع اللوجستي عن التجمع الأسي في مراحله المبكرة. عبر الثلث الأول من الرسم يكاد الخطان يتلامسان. يستمر المنحنى الأسي الأسود في الازدياد انحدارًا ويخرج من أعلى الرسم، لأنه لا شيء في x(t) = x0(1 + r)t يمكنه إبطاءه. يتتبعه المنحنى اللوجستي الأخضر في البداية، وينحني عند نقطة الانعطاف المحددة، لحظة تجاوز الكمية نصف الطاقة الاستيعابية، ثم يتسطّح مقابل خط K المتقطع، دون أن يعبره أبدًا. الفجوة الرأسية المتسعة بين المنحنيين هي الخطأ الذي يتراكمه النموذج الأسي النقي بمجرد أن تتوقف الكمية عن كونها صغيرة نسبيًا مقارنة بحدها.

يفترض النمو الأسي موارد غير محدودة، بينما يضيف النمو اللوجستي طاقة استيعابية K تبطئ المعدل مع اقتراب الكمية منها. تضرب المعادلة اللوجستية حد النمو في العامل (1 − x/K)، الذي يبقى قريبًا من 1 عندما تكون x صغيرة ويتقلص نحو 0 مع اقتراب x من K. لذا يتلاشى النمو من تلقاء نفسه بدلاً من الاستمرار إلى الأبد.

كل عملية أسية حقيقية تتوقف في النهاية عن كونها أسية. تستنفد المزارع البكتيرية مغذياتها، وتصطدم التجمعات السكانية بحدود الغذاء والمساحة، وتتشبع الأسواق بمجرد أن يشتري معظم الزبائن المحتملين. لا يحتوي النموذج الأسي النقي على أي آلية يمكن أن تنتج هذا التباطؤ أبدًا، لذا فهو يصف الواقع بدقة فقط طالما بقيت الكمية صغيرة نسبيًا مقارنة بما يقيّدها، وهو الجزء الأيسر المسطّح من الرسم أعلاه، حيث يتماثل المنحنيان بشكل يتعذر التمييز بينه.

القاعدة العملية هي استخدام النموذج الأسي في البداية والتحول عنه بمجرد اقتراب الكمية من سقفها. لائم طاقة استيعابية على بياناتك الخاصة باستخدام حاسبة النمو اللوجستي، أو تحقق من مدى تطابق منحنى أسي بسيط مع الملاحظات باستخدام الانحدار الأسي.

21 سؤالًا

الأسئلة الشائعة

تقع جميع الإجابات الـ 21 ضمن الفئات الـ 5 أدناه. اختر فئة لعرض أسئلتها وإجاباتها.

الصيغة والتعريفات

ما هو النمو الأسي؟

النمو الأسي هو نمو تكون فيه الزيادة في كل فترة متناسبة مع الكمية الموجودة في بداية تلك الفترة، بدلاً من أن تكون مقدارًا ثابتًا. تُضرب الكمية المتنامية أسيًا في نفس عامل النمو كل فترة، لذا تكبر الزيادة المطلقة كلما كبرت الكمية نفسها.

عند رسمه على محاور عادية، يرسم النمو الأسي منحنى على شكل حرف J يبدأ شبه مستوٍ ثم يرتفع بشدة. أي عملية بمعدل نسبة مئوية ثابت لكل فترة هي أسية، أيًا كانت الوحدات.

ما هي صيغة النمو الأسي؟

صيغة النمو الأسي هي x(t) = x₀(1 + r)t للفترات المنفصلة، وx(t) = x₀ekt للنمو المستمر. في كلتا الصيغتين، x₀ هي القيمة الابتدائية، وt هو الزمن المنقضي، وr هو المعدل الدوري كعدد عشري، وk هو ثابت النمو المستمر.

تصف الصيغتان نفس المنحنى عندما تكون k = ln(1 + r). صيغة النمو الأسي تحتاج فقط إلى هذه المدخلات الثلاثة، وهذا هو سبب عدم طلب حاسبة النمو الأسي لأي شيء آخر.

ما الفرق بين النمو الأسي والنمو الخطي؟

الفرق بين النمو الأسي والنمو الخطي هو أن النمو الخطي يضيف مقدارًا ثابتًا كل فترة بينما يضرب النمو الأسي في عامل ثابت كل فترة. ينتج النمو الخطي خطًا مستقيمًا؛ وينتج النمو الأسي منحنى متصاعد الانحناء.

على مدى فترات قصيرة قد يبدو النموذجان متطابقين تقريبًا. تتسع الفجوة دون حد مع ازدياد t، لأن العملية الضربية تتجاوز في النهاية أي عملية جمعية بغض النظر عن مدى كبر الخطوة الجمعية.

ما هو عامل النمو؟

عامل النمو هو الرقم الذي تُضرب فيه الكمية كل فترة، ويساوي 1 + r عندما تكون r معدل النمو الدوري كعدد عشري. معدل 6% يعطي عامل نمو ثابت قدره 1.06، ومعدل −6% يعطي 0.94.

عامل نمو أكبر من 1 ينتج نموًا، وعامل يساوي 1 تمامًا لا ينتج تغيّرًا، وبين 0 و1 ينتج اضمحلالاً. رفع عامل النمو إلى القوة t يعطي المضاعِف الإجمالي عبر المدة بأكملها، وهذا ما تبلغ عنه حاسبة عامل النمو.

كيف أحوّل معدل نمو من نسبة مئوية إلى عدد عشري؟

تحوّل معدل النمو من نسبة مئوية إلى عدد عشري بقسمة النسبة المئوية على 100. معدل 6.5% يصبح 0.065، ومعدل 240% يصبح 2.4، ومعدل −3.8% يصبح −0.038.

يجب أن يحدث هذا التحويل قبل دخول المعدل في صيغة معدل النمو الأسي، لأن (1 + 6.5)t و(1 + 0.065)t يختلفان اختلافًا هائلاً. تقبل الحاسبة في هذه الصفحة النسبة المئوية مباشرة وتنفّذ القسمة داخليًا.