حاسبة النمو الأسي

النمو الأسي هو نمو يتناسب معدله مع القيمة الحالية، وينتج عنه منحنى على شكل حرف J يصعد ببطء في البداية ثم ينحني بحدة إلى الأعلى. تضرب الصيغة x(t) = x₀ × (1 + r)^t القيمة الابتدائية x₀ في معامل نمو ثابت (1 + r) في كل فترة زمنية t. فسكان يبلغ عددهم 1 000 وينمون بنسبة 10 ٪ سنوياً يصلون إلى 1 100 بعد عام واحد وإلى 2 594 بعد عشر سنوات، لأن نمو كل فترة يُبنى على الفترة التي سبقتها.

لصيغة النمو الأسي شكلان متكافئان. الشكل المتقطع هو x(t) = x₀ × (1 + r)^t، ويُستخدم حين يتراكب النمو مرة واحدة في كل فترة. والشكل المستمر هو x(t) = x₀ × e^(kt)، حيث e هو عدد أويلر، ويساوي تقريباً 2,71828، وk هو معدل النمو المستمر. وكلا الشكلين يُعطي القيمة x(t) عند الزمن t انطلاقاً من القيمة الابتدائية x₀. ويقابل معدل 5 ٪ المتقطع معدلاً مستمراً k = ln(1,05)، أي نحو 0,04879.

النمو الخطي يضيف مقداراً ثابتاً في كل فترة، بينما النمو الأسي يضرب بمعامل ثابت في كل فترة. فادخار 100 $ في كل فترة على مدى 10 فترات يصل إلى 1 000 $ في النمو الخطي، لكن نفس 100 $ عند نموها بنسبة 5 ٪ في كل فترة تتراكم إلى 162,89 $ عند الفترة العاشرة. وإذا مددنا المقارنة إلى 50 فترة، يصل النمو الخطي إلى 5 000 $ بينما يصل النمو الأسي إلى 1 146,74 $، متجاوزاً النمو الخطي بفارق كبير على الآجال الطويلة.

زمن المضاعفة هو عدد الفترات التي تحتاجها كمية تنمو أسياً لتتضاعف، وتحسب بالصيغة t₂ = ln(2) / ln(1 + r)، أي نحو 0,693 / r عند المعدلات الصغيرة. عند معدل نمو سنوي 7 ٪، يبلغ زمن المضاعفة ln(2) / ln(1,07)، أي نحو 10,24 سنة. وعند معدل أسرع قدره 10 ٪، تتضاعف نفس الكمية في 7,27 سنة فقط، مما يوضح مدى حساسية زمن المضاعفة للتغيرات الصغيرة في معدل النمو.

عمر النصف هو الزمن الذي تحتاجه كمية تخضع للتحلل الأسي لتنخفض إلى نصف قيمتها الابتدائية، وله بنية مشابهة لزمن المضاعفة: t½ = ln(2) / |k|، حيث k هو ثابت التحلل. وللكافيين في جسم الإنسان عمر نصف يبلغ نحو 6 ساعات، فتنخفض جرعة 95 ملغ إلى 47,5 ملغ بعد 6 ساعات وإلى 23,75 ملغ بعد 12 ساعة. ولعمر النصف للكربون-14 يبلغ 5 730 سنة، مما يتيح للتأريخ بالكربون المشع تقدير أعمار تصل إلى نحو 50 000 سنة.

نقسم النسبة المئوية على 100 لنحصل على معدل النمو العشري، ثم نضيف 1 لنحصل على معامل النمو المستخدم في الصيغة. فمعدل نمو 5 ٪ يصبح 0,05 كعدد عشري و1,05 كمعامل نمو. ومعدل قدره −3 ٪، وهو يمثل تحللاً، يصبح −0,03 كعدد عشري و0,97 كمعامل نمو. ويجب إجراء هذا التحويل قبل رفع المعدل إلى الأس t، لأن الصيغة لا تعمل إلا بالشكل العشري.

لحساب النمو الأسي نضرب القيمة الابتدائية x₀ في معامل النمو (1 + r) مرفوعاً إلى الأس t، وهو عدد الفترات الزمنية. فبالنسبة لقيمة ابتدائية 1 000، ومعدل نمو 5 ٪، و10 فترات زمنية، تكون العملية 1 000 × 1,05¹⁰، وهو ما يساوي 1 628,89. وتحويل المعدل إلى عدد عشري أولاً أمر مهم هنا؛ فإدخال 5 عوضاً عن 0,05 يعطي نتيجة خاطئة ومختلفة جداً.

يُحسب التحلل الأسي بالطريقة نفسها المستخدمة للنمو، لكن بالضرب في (1 − r) مرفوعاً إلى الأس t عوضاً عن (1 + r)، أو باستخدام e^(−kt) للشكل المستمر. فجرعة كافيين قدرها 95 ملغ بعمر نصف يبلغ 6 ساعات تترك في الجسم 95 × 0,5^(t / 6) ملغ عند الزمن t، وهو ما يعادل 47,5 ملغ بعد 6 ساعات و23,75 ملغ بعد 12 ساعة. ومعدل التحلل r وثابت التحلل k يصفان معاً العملية نفسها من التقلص.

يتراكب النمو الأسي المتقطع مرة واحدة في كل فترة باستخدام الصيغة (1 + r)^t، بينما يتراكب النمو الأسي المستمر بشكل لا نهائي باستخدام e^(kt). وينتج الشكلان نتائج شبه متطابقة عند المعدلات الاعتيادية. فمعدل اسمي قدره 5 ٪ يعطي معامل نمو 1,05000 في الشكل المتقطع و1,05127 في الشكل المستمر خلال سنة واحدة، بفارق نحو 0,13 ٪. ويكبر هذا الفارق بين التركيب المتقطع والمستمر مع زيادة المعدل، وهو أمر أكثر أهمية في النماذج المالية والبيولوجية ذات المعدلات المرتفعة.

النمو اللوجستي هو نمو يتبع منحنى على شكل حرف S ويتباطأ عند اقترابه من سعة استيعاب ثابتة K، على عكس النمو الأسي الذي لا سقف له ويستمر في التضاعف إلى ما لا نهاية. وتضيف الصيغة P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) حداً كابحاً لا يملكه النمو الأسي الخالص. وتتبع المجتمعات السكانية الحقيقية ومستعمرات البكتيريا والأوبئة الفيروسية عادةً النمو الأسي في مراحلها الأولى، ثم تنتقل إلى النمو اللوجستي عندما تقل الموارد أو المستضعفون القابلون للعدوى.

نعم، يمكن أن يكون الزمن سالباً في النمو الأسي. فاستخدام قيمة سالبة لـ t يُسقط الصيغة نفسها إلى الماضي لإيجاد قيمة سابقة عوضاً عن قيمة مستقبلية. فسكان يبلغ عددهم 17 103 نسمة وينمون بنسبة 5 ٪ سنوياً كانوا 17 103 × 1,05^(−11)، أي 10 000 نسمة، قبل 11 عاماً. ولا يعمل الزمن السالب بدقة إلا إذا بقي معدل النمو ثابتاً طوال تلك الفترة كلها، فالتوقعات الرجعية الطويلة تقديرات تقريبية لا حقائق مؤكدة.

من الأمثلة الواقعية على النمو الأسي الفائدة المركّبة على المدخرات والاستثمارات، وتكاثر البكتيريا بالانشطار الثنائي، وتفشي الفيروسات في مرحلة انتشارها الأولى. ويُعد قانون مور، الذي يصف مضاعفة عدد الترانزستورات على رقاقات الحاسوب تقريباً كل عامين، مثالاً معروفاً آخر. ويظهر التحلل الأسي، وهو النسخة ذات المعدل السالب من الصيغة نفسها، في التحلل الإشعاعي، والتأريخ بالكربون المشع، وأيض الأدوية، مثل خروج الكافيين من مجرى الدم بمعدل نسبي ثابت.