Rechner für exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum ist Wachstum, dessen Rate proportional zum aktuellen Wert ist, wodurch eine J-förmige Kurve entsteht, die zunächst langsam steigt und sich dann scharf nach oben biegt. Die Formel x(t) = x₀ × (1 + r)^t multipliziert den Startwert x₀ in jeder Zeitperiode t mit einem konstanten Wachstumsfaktor (1 + r). Eine Bevölkerung von 1 000, die jährlich um 10 % wächst, erreicht nach einem Jahr 1 100 und nach zehn Jahren 2 594, weil das Wachstum jeder Periode auf dem der vorherigen aufbaut.

Die Formel des exponentiellen Wachstums hat zwei gleichwertige Formen. Die diskrete Form ist x(t) = x₀ × (1 + r)^t und wird verwendet, wenn sich das Wachstum einmal pro Periode verzinst. Die stetige Form ist x(t) = x₀ × e^(kt), wobei e die Eulersche Zahl ist, etwa 2,71828, und k die stetige Wachstumsrate. Beide Formen liefern den Wert x(t) zur Zeit t ausgehend vom Anfangswert x₀. Eine diskrete Rate von 5 % entspricht einer stetigen Rate von k = ln(1,05), etwa 0,04879.

Lineares Wachstum addiert in jeder Periode einen festen Betrag, während exponentielles Wachstum in jeder Periode mit einem festen Faktor multipliziert. Wer 100 $ pro Periode über 10 Perioden spart, erreicht bei linearem Wachstum 1 000 $, doch dieselben 100 $ wachsen bei 5 % pro Periode bis Periode 10 auf 162,89 $. Erweitert man den Vergleich auf 50 Perioden, erreicht lineares Wachstum 5 000 $, während exponentielles Wachstum 1 146,74 $ erreicht und das lineare Wachstum auf lange Sicht deutlich übertrifft.

Die Verdopplungszeit ist die Anzahl der Perioden, die eine exponentiell wachsende Größe benötigt, um sich zu verdoppeln, nach der Formel t₂ = ln(2) / ln(1 + r), bei kleinen Raten etwa 0,693 / r. Bei einer jährlichen Wachstumsrate von 7 % ergibt sich die Verdopplungszeit aus ln(2) / ln(1,07), etwa 10,24 Jahre. Bei einer schnelleren Rate von 10 % verdoppelt sich dieselbe Größe bereits in 7,27 Jahren, was zeigt, wie empfindlich die Verdopplungszeit auf kleine Änderungen der Wachstumsrate reagiert.

Die Halbwertszeit ist die Zeit, die eine exponentiell zerfallende Größe braucht, um auf die Hälfte ihres Anfangswerts zu sinken, nach derselben Struktur wie die Verdopplungszeit: t½ = ln(2) / |k|, wobei k die Zerfallskonstante ist. Koffein im menschlichen Körper hat eine Halbwertszeit von etwa 6 Stunden, sodass eine Dosis von 95 mg nach 6 Stunden auf 47,5 mg und nach 12 Stunden auf 23,75 mg sinkt. Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5 730 Jahren, wodurch die Radiokarbon-Datierung Alter von bis zu etwa 50 000 Jahren schätzen kann.

Teilen Sie den Prozentsatz durch 100, um die dezimale Wachstumsrate zu erhalten, und addieren Sie dann 1, um den in der Formel verwendeten Wachstumsfaktor zu erhalten. Eine Wachstumsrate von 5 % wird als Dezimalzahl zu 0,05 und als Wachstumsfaktor zu 1,05. Eine Rate von minus 3 %, die Zerfall darstellt, wird zu minus 0,03 als Dezimalzahl und zu 0,97 als Faktor. Diese Umrechnung muss erfolgen, bevor die Rate mit t potenziert wird, denn die Formel funktioniert nur mit der dezimalen Form.

Berechnen Sie exponentielles Wachstum, indem Sie den Anfangswert x₀ mit dem Wachstumsfaktor (1 + r) potenziert mit t, der Anzahl der Zeitperioden, multiplizieren. Für einen Anfangswert von 1 000, eine Wachstumsrate von 5 % und 10 Zeitperioden lautet die Rechnung 1 000 × 1,05¹⁰, was 1 628,89 ergibt. Wichtig ist, die Rate zuerst in eine Dezimalzahl umzuwandeln: Wer 5 statt 0,05 eingibt, erhält ein völlig anderes, falsches Ergebnis.

Exponentiellen Zerfall berechnet man wie Wachstum, jedoch mit (1 − r) potenziert mit t anstelle von (1 + r), oder mit e^(−kt) für die stetige Form. Eine Dosis von 95 mg Koffein mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden hinterlässt zur Zeit t noch 95 × 0,5^(t / 6) mg im Körper. Nach 6 Stunden sind das 47,5 mg und nach 12 Stunden 23,75 mg. Die Zerfallsrate r und die Zerfallskonstante k beschreiben beide denselben schrumpfenden Prozess.

Diskretes exponentielles Wachstum verzinst sich einmal pro Periode nach der Formel (1 + r)^t, während sich stetiges exponentielles Wachstum unendlich oft mit e^(kt) verzinst. Beide liefern bei alltäglichen Raten fast identische Ergebnisse. Eine nominale Rate von 5 % ergibt über ein Jahr diskret einen Wachstumsfaktor von 1,05000 und stetig 1,05127, ein Unterschied von etwa 0,13 %. Diese Lücke zwischen diskreter und stetiger Verzinsung wird mit steigender Rate größer, was bei finanziellen und biologischen Modellen mit hohen Raten stärker ins Gewicht fällt.

Logistisches Wachstum folgt einer S-förmigen Kurve und verlangsamt sich, sobald es sich einer festen Tragfähigkeit K nähert, im Gegensatz zu exponentiellem Wachstum, das keine Obergrenze kennt und sich unbegrenzt weiter vervielfacht. Die Formel P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) fügt einen Bremsterm hinzu, den reines exponentielles Wachstum nicht besitzt. Reale Populationen, Bakterienkolonien und Virusepidemien folgen anfangs meist exponentiellem Wachstum und wechseln dann zu logistischem Wachstum, sobald Ressourcen oder empfängliche Wirte knapp werden.

Ja, die Zeit kann bei exponentiellem Wachstum negativ sein. Ein negativer Wert für t projiziert dieselbe Formel rückwärts, um einen vergangenen statt einen zukünftigen Wert zu finden. Eine Bevölkerung von 17 103 Menschen, die jährlich um 5 % wächst, betrug 17 103 × 1,05^(−11), also 10 000 Menschen, elf Jahre zuvor. Negative Zeit funktioniert nur sauber, wenn die Wachstumsrate über den gesamten Zeitraum konstant geblieben ist, sodass lange Rückwärtsprojektionen grobe Schätzungen und keine Gewissheiten sind.

Reale Beispiele für exponentielles Wachstum sind Zinseszins auf Ersparnisse und Investitionen, bakterielle Vermehrung durch binäre Spaltung und Virusausbrüche in ihrer frühen Ausbreitungsphase. Moores Gesetz, wonach sich die Anzahl der Transistoren auf Computerchips etwa alle zwei Jahre verdoppelt, ist ein weiterer bekannter Fall. Exponentieller Zerfall, die Version der gleichen Formel mit negativer Rate, zeigt sich bei radioaktivem Zerfall, Radiokarbon-Datierung und Arzneimittel-Metabolismus, etwa wenn Koffein mit einer gleichbleibenden prozentualen Rate den Blutkreislauf verlässt.