Exponentiële Groei Calculator

Exponentiële groei is groei waarvan het tempo evenredig is met de huidige waarde, wat een J-vormige curve oplevert die eerst langzaam stijgt en dan scherp naar boven buigt. De formule x(t) = x₀ × (1 + r)^t vermenigvuldigt de beginwaarde x₀ elke tijdsperiode t met een constante groeifactor (1 + r). Een populatie van 1 000 die 10% per jaar groeit, bereikt 1 100 na één jaar en 2 594 na tien jaar, omdat de groei van elke periode voortbouwt op de vorige.

De formule voor exponentiële groei kent twee gelijkwaardige vormen. De discrete vorm is x(t) = x₀ × (1 + r)^t, gebruikt wanneer groei één keer per periode wordt samengesteld. De continue vorm is x(t) = x₀ × e^(kt), waarbij e het getal van Euler is, ongeveer 2,71828, en k het continue groeipercentage. Beide vormen geven de waarde x(t) op tijdstip t vanaf de beginwaarde x₀. Een discreet percentage van 5% komt overeen met een continu percentage van k = ln(1,05), ongeveer 0,04879.

Lineaire groei telt elke periode een vast bedrag op, terwijl exponentiële groei elke periode met een vaste factor vermenigvuldigt. $ 100 per periode sparen gedurende 10 perioden levert $ 1 000 op bij lineaire groei, maar diezelfde $ 100 die 5% per periode groeit, loopt op tot $ 162,89 in periode 10. Zet de vergelijking door naar 50 perioden, dan bereikt lineaire groei $ 5 000 terwijl exponentiële groei $ 1 146,74 bereikt, wat lineaire groei op lange termijn ruim voorbijstreeft.

Verdubbelingstijd is het aantal perioden dat een exponentieel groeiende grootheid nodig heeft om in omvang te verdubbelen, volgens de formule t₂ = ln(2) / ln(1 + r), ongeveer 0,693 / r bij kleine percentages. Bij een jaarlijks groeipercentage van 7% komt de verdubbelingstijd uit op ln(2) / ln(1,07), ongeveer 10,24 jaar. Bij een sneller percentage van 10% verdubbelt dezelfde grootheid al in 7,27 jaar, wat laat zien hoe gevoelig de verdubbelingstijd is voor kleine veranderingen in het groeipercentage.

Halfwaardetijd is de tijd die een exponentieel vervallende grootheid nodig heeft om tot de helft van de beginwaarde te dalen, volgens dezelfde structuur als verdubbelingstijd: t½ = ln(2) / |k|, waarbij k de vervalconstante is. Cafeïne in het menselijk lichaam heeft een halfwaardetijd van ongeveer 6 uur, dus een dosis van 95 mg daalt na 6 uur tot 47,5 mg en na 12 uur tot 23,75 mg. Koolstof-14 heeft een halfwaardetijd van 5 730 jaar, waardoor koolstofdatering leeftijden tot ongeveer 50 000 jaar kan schatten.

Deel het percentage door 100 om het decimale groeipercentage te krijgen, en tel er dan 1 bij op voor de groeifactor die in de formule wordt gebruikt. Een groeipercentage van 5% wordt 0,05 als decimaal en 1,05 als groeifactor. Een percentage van min 3%, wat verval voorstelt, wordt min 0,03 als decimaal en 0,97 als groeifactor. Deze omzetting moet gebeuren voordat het percentage tot de macht t wordt verheven, want de formule werkt alleen met de decimale vorm.

Bereken exponentiële groei door de beginwaarde x₀ te vermenigvuldigen met de groeifactor (1 + r) verheven tot de macht t, het aantal tijdsperioden. Voor een beginwaarde van 1 000, een groeipercentage van 5% en 10 tijdsperioden is de berekening 1 000 × 1,05¹⁰, wat gelijk is aan 1 628,89. Het percentage eerst omzetten naar decimaal is hier essentieel. 5 invoeren in plaats van 0,05 zou een compleet ander, onjuist resultaat geven.

Bereken exponentieel verval op dezelfde manier als groei, maar vermenigvuldig met (1 − r) verheven tot de macht t in plaats van (1 + r), of gebruik e^(−kt) voor de continue vorm. Een dosis van 95 mg cafeïne met een halfwaardetijd van 6 uur laat op tijdstip t nog 95 × 0,5^(t / 6) mg in het lichaam achter. Na 6 uur is dat 47,5 mg, en na 12 uur 23,75 mg. Het vervalpercentage r en de vervalconstante k beschrijven hetzelfde krimpende proces.

Discrete exponentiële groei wordt één keer per periode samengesteld met de formule (1 + r)^t, terwijl continue exponentiële groei oneindig vaak wordt samengesteld met e^(kt). Bij alledaagse percentages leveren beide bijna identieke resultaten op. Een nominaal percentage van 5% geeft over een jaar een groeifactor van 1,05000 discreet en 1,05127 continu, een verschil van ongeveer 0,13%. Dat verschil tussen discrete en continue samenstelling wordt groter naarmate het percentage stijgt, wat meer meetelt bij financiële en biologische modellen met hoge percentages.

Logistische groei is groei die een S-vormige curve volgt en vertraagt naarmate ze een vaste draagkracht K nadert, in tegenstelling tot exponentiële groei, die geen bovengrens kent en eindeloos blijft vermenigvuldigen. De formule P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) voegt een afremmende term toe die bij zuiver exponentiële groei ontbreekt. Echte populaties, bacteriekolonies en virale epidemieën volgen doorgaans eerst exponentiële groei en gaan pas over op logistische groei zodra hulpbronnen of vatbare gastheren opraken.

Ja, tijd kan negatief zijn bij exponentiële groei. Het gebruik van een negatieve waarde voor t projecteert dezelfde formule terug in de tijd om een vroegere waarde te vinden in plaats van een toekomstige. Een populatie van 17 103 mensen die 5% per jaar groeit, was 17 103 × 1,05^(−11), oftewel 10 000 mensen, elf jaar eerder. Negatieve tijd werkt alleen goed als het groeipercentage over die hele periode constant is gebleven, dus lange terugprojecties zijn ruwe schattingen, geen zekerheden.

Praktijkvoorbeelden van exponentiële groei zijn onder meer samengestelde rente op spaargeld en beleggingen, bacteriële voortplanting door binaire deling en virale uitbraken tijdens hun vroege verspreidingsfase. De wet van Moore, die beschrijft dat het aantal transistors op computerchips ongeveer elke twee jaar verdubbelt, is een ander bekend voorbeeld. Exponentieel verval, de negatieve versie van dezelfde formule, komt voor bij radioactief verval, koolstofdatering en geneesmiddelenmetabolisme, zoals cafeïne dat het bloed verlaat met een constant percentage.