Calculadora de Crecimiento Exponencial

El crecimiento exponencial es aquel cuya tasa es proporcional al valor actual, lo que produce una curva en forma de J que sube despacio al principio y luego se dispara hacia arriba. La fórmula x(t) = x₀ × (1 + r)^t multiplica el valor inicial x₀ por un factor de crecimiento constante (1 + r) en cada período de tiempo t. Una población de 1 000 habitantes que crece un 10 % al año alcanza 1 100 tras un año y 2 594 tras diez años, porque el crecimiento de cada período se suma al del anterior.

La fórmula del crecimiento exponencial tiene dos formas equivalentes. La forma discreta es x(t) = x₀ × (1 + r)^t, que se usa cuando el crecimiento se capitaliza una vez por período. La forma continua es x(t) = x₀ × e^(kt), donde e es el número de Euler, aproximadamente 2,71828, y k es la tasa de crecimiento continua. Ambas formas devuelven el valor x(t) en el tiempo t a partir del valor inicial x₀. Una tasa discreta del 5 % corresponde a una tasa continua de k = ln(1,05), aproximadamente 0,04879.

El crecimiento lineal suma una cantidad fija cada período, mientras que el exponencial multiplica por un factor fijo cada período. Ahorrar 100 $ por período durante 10 períodos llega a 1 000 $ con crecimiento lineal, pero esos mismos 100 $ creciendo un 5 % por período se capitalizan hasta 162,89 $ en el período 10. Si se amplía la comparación a 50 períodos, el crecimiento lineal llega a 5 000 $ mientras que el exponencial alcanza 1 146,74 $, superando al lineal por un margen amplio a largo plazo.

El tiempo de duplicación es el número de períodos que tarda una cantidad en crecimiento exponencial en duplicar su tamaño, según la fórmula t₂ = ln(2) / ln(1 + r), aproximadamente 0,693 / r para tasas pequeñas. Con una tasa de crecimiento anual del 7 %, el tiempo de duplicación resulta ln(2) / ln(1,07), aproximadamente 10,24 años. Con una tasa más rápida del 10 %, la misma cantidad se duplica en solo 7,27 años, lo que muestra lo sensible que es el tiempo de duplicación a pequeños cambios en la tasa de crecimiento.

La vida media es el tiempo que tarda una cantidad en decaimiento exponencial en caer a la mitad de su valor inicial, siguiendo la misma estructura que el tiempo de duplicación: t½ = ln(2) / |k|, donde k es la constante de desintegración. La cafeína en el cuerpo humano tiene una vida media de unas 6 horas, por lo que una dosis de 95 mg cae a 47,5 mg tras 6 horas y a 23,75 mg tras 12 horas. El carbono-14 tiene una vida media de 5 730 años, lo que permite a la datación por radiocarbono estimar edades de hasta unos 50 000 años.

Divide el porcentaje entre 100 para obtener la tasa de crecimiento decimal, y luego suma 1 para obtener el factor de crecimiento usado en la fórmula. Una tasa del 5 % se convierte en 0,05 como decimal y en 1,05 como factor de crecimiento. Una tasa de menos 3 %, que representa decaimiento, se convierte en menos 0,03 como decimal y en 0,97 como factor. Esta conversión debe hacerse antes de elevar la tasa a la potencia t, porque la fórmula solo funciona con la forma decimal.

Para calcular el crecimiento exponencial, multiplica el valor inicial x₀ por el factor de crecimiento (1 + r) elevado a la potencia t, el número de períodos de tiempo. Para un valor inicial de 1 000, una tasa de crecimiento del 5 % y 10 períodos, el cálculo es 1 000 × 1,05¹⁰, que equivale a 1 628,89. Aquí importa convertir primero la tasa a decimal: introducir 5 en lugar de 0,05 daría un resultado incorrecto y completamente distinto.

El decaimiento exponencial se calcula igual que el crecimiento, pero multiplicando por (1 − r) elevado a la potencia t en lugar de (1 + r), o usando e^(−kt) en la forma continua. Una dosis de 95 mg de cafeína con una vida media de 6 horas deja 95 × 0,5^(t / 6) mg en el cuerpo en el tiempo t. Tras 6 horas eso son 47,5 mg, y tras 12 horas, 23,75 mg. La tasa de decaimiento r y la constante de desintegración k describen el mismo proceso de reducción.

El crecimiento exponencial discreto se capitaliza una vez por período usando la fórmula (1 + r)^t, mientras que el continuo se capitaliza infinitas veces usando e^(kt). Ambos producen resultados casi idénticos a tasas habituales. Una tasa nominal del 5 % da un factor de crecimiento de 1,05000 en forma discreta y 1,05127 en forma continua a lo largo de un año, una diferencia de alrededor del 0,13 %. Esa brecha entre la capitalización discreta y continua aumenta con la tasa, algo que importa más en modelos financieros y biológicos con tasas elevadas.

El crecimiento logístico sigue una curva en forma de S y se ralentiza al acercarse a una capacidad de carga fija K, a diferencia del crecimiento exponencial, que no tiene límite superior y sigue multiplicándose para siempre. La fórmula P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) añade un término de frenado que el crecimiento exponencial puro no tiene. Las poblaciones reales, las colonias bacterianas y las epidemias virales suelen seguir un crecimiento exponencial al principio, y pasan a un crecimiento logístico cuando escasean los recursos o los huéspedes susceptibles.

Sí, el tiempo puede ser negativo en el crecimiento exponencial. Usar un valor negativo de t proyecta la misma fórmula hacia atrás para hallar un valor pasado en lugar de uno futuro. Una población de 17 103 personas que crece un 5 % al año era de 17 103 × 1,05^(−11), es decir, 10 000 personas, once años antes. El tiempo negativo solo funciona con precisión cuando la tasa de crecimiento se ha mantenido constante durante todo ese período, así que las proyecciones retrospectivas largas son estimaciones aproximadas, no certezas.

Entre los ejemplos reales de crecimiento exponencial están el interés compuesto en ahorros e inversiones, la reproducción bacteriana por fisión binaria y los brotes virales en su fase inicial de propagación. La ley de Moore, que describe cómo el número de transistores en los chips se duplica aproximadamente cada dos años, es otro caso conocido. El decaimiento exponencial, la versión con tasa negativa de la misma fórmula, aparece en la desintegración radiactiva, la datación por radiocarbono y el metabolismo de fármacos, como la cafeína que abandona el torrente sanguíneo a una tasa porcentual constante.