Kalkulator Wzrostu Wykładniczego

Wzrost wykładniczy to wzrost, którego tempo jest proporcjonalne do bieżącej wartości, co daje krzywą w kształcie litery J, która na początku rośnie powoli, a potem wyraźnie zakrzywia się do góry. Wzór x(t) = x₀ × (1 + r)^t mnoży wartość początkową x₀ przez stały współczynnik wzrostu (1 + r) w każdym okresie t. Populacja 1 000 osób rosnąca o 10 % rocznie osiąga 1 100 po roku i 2 594 po dziesięciu latach, ponieważ wzrost każdego okresu opiera się na poprzednim.

Wzór wzrostu wykładniczego ma dwie równoważne formy. Forma dyskretna to x(t) = x₀ × (1 + r)^t, używana, gdy wzrost kapitalizuje się raz na okres. Forma ciągła to x(t) = x₀ × e^(kt), gdzie e to liczba Eulera, w przybliżeniu 2,71828, a k to ciągła stopa wzrostu. Obie formy zwracają wartość x(t) w czasie t na podstawie wartości początkowej x₀. Dyskretna stopa 5 % odpowiada ciągłej stopie k = ln(1,05), w przybliżeniu 0,04879.

Wzrost liniowy dodaje stałą kwotę w każdym okresie, natomiast wzrost wykładniczy mnoży przez stały współczynnik w każdym okresie. Odkładanie 100 $ na okres przez 10 okresów daje 1 000 $ przy wzroście liniowym, ale te same 100 $ rosnące o 5 % na okres narasta do 162,89 $ w okresie 10. Jeśli rozszerzyć porównanie do 50 okresów, wzrost liniowy osiąga 5 000 $, a wzrost wykładniczy 1 146,74 $, wyraźnie przewyższając wzrost liniowy w długim horyzoncie.

Czas podwojenia to liczba okresów, w ciągu których wielkość rosnąca wykładniczo podwaja swoją wartość, według wzoru t₂ = ln(2) / ln(1 + r), w przybliżeniu 0,693 / r dla małych stóp. Przy rocznej stopie wzrostu 7 % czas podwojenia wynosi ln(2) / ln(1,07), w przybliżeniu 10,24 lat. Przy szybszej stopie 10 % ta sama wielkość podwaja się już po 7,27 lat, co pokazuje, jak czuły jest czas podwojenia na niewielkie zmiany stopy wzrostu.

Okres półtrwania to czas, w którym wielkość podlegająca zanikowi wykładniczemu spada do połowy wartości początkowej, według tej samej struktury co czas podwojenia: t½ = ln(2) / |k|, gdzie k to stała zaniku. Kofeina w organizmie człowieka ma okres półtrwania około 6 godzin, więc dawka 95 mg spada do 47,5 mg po 6 godzinach i 23,75 mg po 12 godzinach. Węgiel-14 ma okres półtrwania 5 730 lat, co pozwala datowaniu radiowęglowemu szacować wiek do około 50 000 lat.

Podziel procent przez 100, aby otrzymać dziesiętną stopę wzrostu, a następnie dodaj 1, aby uzyskać współczynnik wzrostu używany we wzorze. Stopa wzrostu 5 % staje się 0,05 jako liczba dziesiętna i 1,05 jako współczynnik wzrostu. Stopa minus 3 %, która oznacza zanik, staje się minus 0,03 jako liczba dziesiętna i 0,97 jako współczynnik wzrostu. Ta konwersja musi nastąpić przed podniesieniem stopy do potęgi t, ponieważ wzór działa tylko z formą dziesiętną.

Aby obliczyć wzrost wykładniczy, pomnóż wartość początkową x₀ przez współczynnik wzrostu (1 + r) podniesiony do potęgi t, czyli liczby okresów czasu. Dla wartości początkowej 1 000, stopy wzrostu 5 % i 10 okresów czasu obliczenie wygląda tak: 1 000 × 1,05¹⁰, co daje 1 628,89. Ważne jest tu wcześniejsze przeliczenie stopy na wartość dziesiętną. Wpisanie 5 zamiast 0,05 dałoby zupełnie inny, błędny wynik.

Zanik wykładniczy oblicza się podobnie jak wzrost, ale mnoży się przez (1 − r) podniesione do potęgi t zamiast (1 + r), albo używa się e^(−kt) dla formy ciągłej. Dawka 95 mg kofeiny z okresem półtrwania 6 godzin pozostaje w organizmie w ilości 95 × 0,5^(t / 6) mg w czasie t. Po 6 godzinach to 47,5 mg, a po 12 godzinach 23,75 mg. Stopa zaniku r i stała zaniku k opisują ten sam proces zmniejszania się wielkości.

Dyskretny wzrost wykładniczy kapitalizuje się raz na okres według wzoru (1 + r)^t, natomiast ciągły wzrost wykładniczy kapitalizuje się nieskończenie często według wzoru e^(kt). Przy typowych stopach obie formy dają niemal identyczne wyniki. Nominalna stopa 5 % daje współczynnik wzrostu 1,05000 dyskretnie i 1,05127 ciągle w ciągu roku, czyli różnicę około 0,13 %. Ta różnica między kapitalizacją dyskretną a ciągłą rośnie wraz ze wzrostem stopy, co ma większe znaczenie dla modeli finansowych i biologicznych o wysokich stopach.

Wzrost logistyczny to wzrost, który przebiega według krzywej w kształcie litery S i zwalnia w miarę zbliżania się do stałej pojemności środowiska K, w przeciwieństwie do wzrostu wykładniczego, który nie ma górnej granicy i mnoży się w nieskończoność. Wzór P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) wprowadza czynnik hamujący, którego czysty wzrost wykładniczy nie ma. Realne populacje, kolonie bakteryjne i epidemie wirusowe zazwyczaj podążają za wzrostem wykładniczym na początku, a następnie przechodzą do wzrostu logistycznego, gdy zasoby lub liczba podatnych osobników zaczynają się kończyć.

Tak, czas może być ujemny we wzroście wykładniczym. Użycie ujemnej wartości dla t projektuje ten sam wzór wstecz, aby znaleźć wartość z przeszłości, a nie z przyszłości. Populacja 17 103 osób, rosnąca o 5 % rocznie, wynosiła 17 103 × 1,05^(−11), czyli 10 000 osób, jedenaście lat wcześniej. Ujemny czas działa poprawnie tylko wtedy, gdy stopa wzrostu pozostawała stała w całym tym okresie, więc długie projekcje wstecz są przybliżeniami, a nie pewnością.

Rzeczywiste przykłady wzrostu wykładniczego to procent składany od oszczędności i inwestycji, rozmnażanie bakterii przez podział binarny oraz epidemie wirusowe w ich wczesnej fazie rozprzestrzeniania się. Prawo Moore'a, które opisuje liczbę tranzystorów w chipach komputerowych podwajającą się w przybliżeniu co dwa lata, to kolejny znany przypadek. Zanik wykładniczy, wersja tego samego wzoru z ujemną stopą, występuje w rozpadzie promieniotwórczym, datowaniu radiowęglowym i metabolizmie leków, na przykład w usuwaniu kofeiny z krwiobiegu w stałym tempie procentowym.