Калькулятор экспоненциального роста

Экспоненциальным ростом называют рост, темп которого пропорционален текущему значению; такой рост образует J-образную кривую, которая сначала поднимается медленно, а затем резко изгибается вверх. Формула x(t) = x₀ × (1 + r)^t умножает начальное значение x₀ на постоянный коэффициент роста (1 + r) в каждый период времени t. Население из 1 000 человек, растущее на 10 % в год, достигает 1 100 через год и 2 594 через десять лет, поскольку рост каждого периода строится на предыдущем.

Формула экспоненциального роста имеет две равносильные формы. Дискретная форма записывается как x(t) = x₀ × (1 + r)^t и применяется, когда рост капитализируется один раз за период. Непрерывная форма записывается как x(t) = x₀ × e^(kt), где e обозначает число Эйлера, приблизительно 2,71828, а k обозначает непрерывный темп роста. Обе формы дают значение x(t) в момент t на основе начального значения x₀. Дискретному темпу 5 % соответствует непрерывный темп k = ln(1,05), приблизительно 0,04879.

Линейный рост добавляет фиксированную сумму каждый период, тогда как экспоненциальный рост умножает на фиксированный коэффициент каждый период. Откладывая 100 $ за период в течение 10 периодов, при линейном росте получаем 1 000 $, но те же 100 $, растущие на 5 % за период, накапливаются до 162,89 $ к периоду 10. Если продолжить сравнение до 50 периодов, линейный рост достигает 5 000 $, а экспоненциальный рост достигает 1 146,74 $, значительно превосходя линейный рост на длинных горизонтах.

Временем удвоения называют число периодов, за которое экспоненциально растущая величина увеличивается вдвое; оно вычисляется по формуле t₂ = ln(2) / ln(1 + r), приблизительно 0,693 / r для малых темпов. При годовом темпе роста 7 % время удвоения составляет ln(2) / ln(1,07), приблизительно 10,24 года. При более высоком темпе 10 % та же величина удваивается всего за 7,27 года, что показывает, насколько время удвоения чувствительно к небольшим изменениям темпа роста.

Периодом полураспада называют время, за которое величина, подверженная экспоненциальному распаду, падает до половины начального значения; он вычисляется по той же схеме, что и время удвоения: t½ = ln(2) / |k|, где k обозначает постоянную распада. Кофеин в организме человека имеет период полураспада около 6 часов, поэтому доза 95 мг снижается до 47,5 мг через 6 часов и до 23,75 мг через 12 часов. Углерод-14 имеет период полураспада 5 730 лет, что позволяет радиоуглеродному датированию оценивать возраст до приблизительно 50 000 лет.

Разделите процент на 100, чтобы получить десятичный темп роста, затем добавьте 1, чтобы получить коэффициент роста, используемый в формуле. Темп роста 5 % становится 0,05 в десятичной форме и 1,05 в виде коэффициента роста. Темп минус 3 %, означающий распад, становится минус 0,03 в десятичной форме и 0,97 в виде коэффициента роста. Это преобразование нужно выполнить до возведения темпа в степень t, поскольку формула работает только с десятичной формой.

Чтобы рассчитать экспоненциальный рост, умножьте начальное значение x₀ на коэффициент роста (1 + r), возведённый в степень t, то есть число периодов времени. Для начального значения 1 000, темпа роста 5 % и 10 периодов времени расчёт выглядит так: 1 000 × 1,05¹⁰, что равно 1 628,89. Здесь важно сначала перевести темп в десятичную форму. Ввод 5 вместо 0,05 дал бы совершенно другой, неверный результат.

Экспоненциальный распад рассчитывается так же, как рост, но вместо (1 + r) умножают на (1 − r), возведённое в степень t, либо используют e^(−kt) для непрерывной формы. Доза кофеина 95 мг с периодом полураспада 6 часов оставляет в организме 95 × 0,5^(t / 6) мг в момент времени t. Через 6 часов это 47,5 мг, а через 12 часов это 23,75 мг. Темп распада r и постоянная распада k описывают один и тот же процесс убывания.

Дискретный экспоненциальный рост капитализируется один раз за период по формуле (1 + r)^t, тогда как непрерывный экспоненциальный рост капитализируется бесконечно часто по формуле e^(kt). При обычных темпах обе формы дают почти одинаковые результаты. Номинальный темп 5 % даёт коэффициент роста 1,05000 при дискретном и 1,05127 при непрерывном расчёте за год, то есть разницу около 0,13 %. Этот разрыв между дискретной и непрерывной капитализацией увеличивается с ростом темпа, что важнее для финансовых и биологических моделей с высокими темпами.

Логистический рост следует S-образной кривой и замедляется по мере приближения к фиксированной ёмкости среды K, в отличие от экспоненциального роста, у которого нет верхней границы и который умножается бесконечно. Формула P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) добавляет тормозящий член, которого нет у простого экспоненциального роста. Реальные популяции, бактериальные колонии и вирусные эпидемии обычно следуют экспоненциальному росту на начальном этапе, а затем переходят к логистическому росту, когда ресурсы или число восприимчивых особей истощаются.

Да, время может быть отрицательным в экспоненциальном росте. Использование отрицательного значения t проецирует ту же формулу назад, чтобы найти значение из прошлого, а не из будущего. Население в 17 103 человека, растущее на 5 % в год, составляло 17 103 × 1,05^(−11), то есть 10 000 человек, одиннадцать лет ранее. Отрицательное время работает корректно только тогда, когда темп роста оставался постоянным на всём этом промежутке, поэтому долгие проекции назад следует считать грубыми оценками, а не точными значениями.

Реальные примеры экспоненциального роста включают сложный процент на сбережения и инвестиции, размножение бактерий делением, а также вирусные вспышки на ранней стадии распространения. Закон Мура, описывающий число транзисторов на компьютерных чипах, удваивающееся примерно каждые два года, служит ещё одним известным примером. Экспоненциальный распад, версия той же формулы с отрицательным темпом, проявляется в радиоактивном распаде, радиоуглеродном датировании и метаболизме лекарств, например в выведении кофеина из крови с постоянной процентной скоростью.