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输入
结果
下面每一行都将上方输入框中的当前数值代入指数增长公式,每次执行一步运算。
| 周期 t | 数值 x(t) | 变化量 |
|---|---|---|
| 0 | 1,000.00 | N/A |
| 1 | 1,070.00 | +70.00 |
| 2 | 1,144.90 | +74.90 |
| 3 | 1,225.04 | +80.14 |
| 4 | 1,310.80 | +85.75 |
| 5 | 1,402.55 | +91.76 |
| 6 | 1,500.73 | +98.18 |
| 7 | 1,605.78 | +105.05 |
| 8 | 1,718.19 | +112.40 |
| 9 | 1,838.46 | +120.27 |
| 10 | 1,967.15 | +128.69 |
曲线和表格说明: 在默认设置下,1,000个单位以每周期7%的速度增长10个周期,曲线从第0周期开始几乎持平,随后向右持续变陡,最终达到1,967.15。曲线从不向下弯折,也从不变直,这正是指数增长的视觉特征。旁边的表格解释了原因:变化量列从第1周期的+70.00开始,到第10周期已达到+128.72,也就是说,随着所应用的基数不断增长,同样7%的增长率每个周期都会增加更大的绝对数量。将增长率设为负值,同一条曲线就会反转为向零下降的衰减曲线,这就是这款指数函数图形计算器用一个控件同时覆盖两个方向的方式。
指数增长是指每个周期新增的数量与当前已有数量成正比的增长方式,因此该数量是被一个恒定的增长因子相乘,而不是被一个恒定的数量所增加。
正是这一特性将指数增长与其他所有增长方式区分开来。一笔以每年4%的利率增长的储蓄余额,在第二十年获得的美元数会比第一年多,即便利率从未改变,因为较大余额的4%本身就是一个更大的数字。
以时间作图时,指数增长呈现出一条J形曲线。曲线的左侧几乎是平的,很容易被误认为是缓慢的线性变化。曲线的右侧则急剧上升并持续变陡,因为曲线上任意一点的斜率都与该点的高度成正比。在纯粹的模型中,曲线没有向上的拐点,也没有上限,只要t持续增大,曲线就会持续攀升。指数曲线计算器可以直接根据三个输入值绘制出这一形状,使这种弯曲一目了然,而不必从一列数字中推断。
驱动这一切的核心是恒定的增长因子:该数量每个周期都会乘以的固定数字。4%的增长率意味着增长因子为1.04,每个周期应用一次,永远如此。十个周期后,总乘数为1.0410 = 1.4802,而不是1.40,这0.0802的差额正是乘法模型所捕捉、而加法模型所遗漏的复利效应。任何指数增长计算器所做的,本质上都是重复执行这一运算。
指数增长也可以反向运行。将增长率设为负值,会使增长因子变成一个介于0和1之间的数字,反复乘以这样的数字会使数量不断缩小而不是增大。J形曲线会翻转为一条下降曲线,并在趋近于零时逐渐变平。方程本身完全没有改变,改变的只是r的符号,这也是为什么增长和衰减被视为同一个主题,而不是两个独立的主题。指数增长公式和衰减公式其实是同一个表达式,只是符号不同而已。
值得记住的关键要求是比例性。当一个过程的速率以“每周期百分之几”而非“每周期若干单位”来表示时,它就是指数式的。一家每月增加500个单位的工厂,无论数字多大,都不属于指数增长。而一个细胞数量每小时增长8%的培养物,无论数字多小,都属于指数增长。
指数增长公式为:按离散周期应用增长时为 x(t) = x0(1 + r)t,按连续方式应用增长时为 x(t) = x0ekt。 两者描述的是同一族曲线,区别仅在于增长率被应用的频率。本网站上的每一款增长公式计算器都是基于这两个表达式之一构建的。
当增长以可识别的步骤发生时使用此形式:例如年度利息支付、季度营收数字、年度人口普查数量。增长率在每个完整周期结束时应用一次。
当增长没有天然的步长时使用此形式:例如放射性衰变、细菌培养、热量散失。常数 e = 2.71828… 是当周期长度趋近于零时复利的极限值。
| 符号 | 名称 | 表示含义 | 示例 |
|---|---|---|---|
| x(t) | 最终值 | 经过t个周期后的数量。这是计算的输出结果。 | 3,972 名订阅者 |
| x0 | 初始值 | t = 0时的数量,即尚未应用任何增长之前的数量。有时也写作P、N₀或a。 | 2,400 名订阅者 |
| r | 周期增长率 | 以小数表示的每周期比例变化。增长为正值,衰减为负值。 | 0.065(即6.5%) |
| k | 连续增长常数 | 用于以e为底的形式中的瞬时速率,也称为增长常数。 | 每周期0.06297 |
| t | 经过时间 | 已经过去的周期数。单位与增长率所使用的单位相同。 | 8个月 |
| e | 自然常数(欧拉数) | 固定常数2.718281828…,是自然指数增长的底数。 | 2.71828 |
表格说明: 这六行涵盖了增长方程公式两种形式中可能出现的每一个符号,并配有该符号在本页下方详解示例中所取的数值。六个符号中只有三个,即x0、r和t,需要手动输入。x(t)是计算结果,e是一个固定常数,而k则是由r推导得出,而非直接提供。
这两种形式通过 k = ln(1 + r) 相互关联,反向转换则通过 r = ek − 1 实现。因此,每周期6.5%的离散增长率对应的连续增长常数为 ln(1.065) = 0.06297,将任意一个数值代入其各自的方程,都会得到完全相同的曲线。正是因为存在这种转换关系,指数方程求解器才能作为单一工具使用,而不必分成两种工具。
图表说明: 该图将指数增长公式拆解为四个组成部分。左侧的x(t)是输出结果,即经过t个周期后所达到的数量。等号之后紧接着的x0项是计算所依据的初始值。用绿色括弧标出的括号项(1 + r)是增长因子:该数量每个周期所乘以的那一个数字。最右侧的上标t是指数,它记录了这一乘法运算发生的次数。因此,从左到右阅读该公式,就得到这样一句话:“最终值等于初始值乘以增长因子,重复t次。”
指数增长与指数衰减之间的区别仅在于增长率的符号,别无其他:增长使用正的r值和大于1的增长因子,而衰减使用负的r值和介于0与1之间的增长因子。 一个方程即可涵盖这两种情况,这也是增长与衰减计算器无需设置两种独立模式的原因。
具体写出来,当r以正的衰减率形式给出时,衰减公式为 x(t) = x0(1 − r)t;而当r本身已带有负号时,公式为 x(t) = x0(1 + r)t。两者结果完全相同:以每周期4%的损失率为例,(1 − 0.04)和(1 + (−0.04))都等于0.96。连续形式为 x(t) = x0e−kt,其中指数中的负号所起的作用,与离散版本中小于1的因子相同。
大于1的增长因子会使数量增长。恰好等于1则数量保持不变。介于0和1之间则数量衰减。仅这一个数字就决定了整条曲线的走向。
符号约定之所以重要,是因为两种表示衰减的方式很容易被重复应用。如果在一个标签已经写着“衰减率”的输入框中填入 r = −4,就会得到 (1 − (−0.04)) = 1.04,反而返回增长的结果。本计算器通过只要求输入一个带符号的增长率来消除这种歧义:输入4表示增长,输入−4表示衰减,工具会在前一种情况下报告倍增时间,在后一种情况下报告半衰期。任何指数增长衰减计算器都必须选定一种约定并明确说明,而“单一带符号字段”正是失误可能性最小的约定。
尽管共用同一个方程,这两个方向在极限处的表现却并不相同。指数增长没有上限;随着t增大,x(t)也会无限增大。指数衰减则有一个永远无法到达的下限:反复乘以0.96会使数量不断变小,却永远不会变成零,因此曲线会逐渐趋近于水平轴,但永不相交。在实践中,衰减计算通常会在达到某个阈值时停止,例如剩余1%,或剩余一个可检测的单位,而不会一直计算到底。
有一个边界值得明确说明。在离散模型中,r = −100% 会使增长因子恰好等于0,数量在一个周期内就降为零,并保持在零。低于−100%的增长率意味着损失的数量超过了全部现有数量,因此离散衰减与增长计算器会将这类情况视为无定义,而不会返回一个符号翻转的答案。连续形式则没有这样的边界,因为对于任何有限的k和t,e−kt 始终保持为正值。
要计算指数增长,先将百分比增长率转换为小数,加1得到增长因子,再将该因子按已经过的周期数取幂,最后乘以初始值。 下面的5个步骤按照计算器实际求值的顺序,应用了指数增长率公式。
确定x₀,即尚未发生任何增长之前的现有数量。这是t = 0时的数值,之后的每一个数值都是它的倍数。
将百分比增长率除以100。每周期6.5%的增长率变为r = 0.065。要保留符号:下降6.5%则变为r = −0.065。
计算1 + r。当r = 0.065时,增长因子为1.065。这一个数字就是该数量每个周期所乘以的值。
计算(1 + r)^t,其中t表示经过的周期数。以1.065的因子经过8个周期,1.065^8 = 1.654996。这就是整个时间跨度的总乘数。
将x₀乘以第4步的结果即可得到x(t)。从2,400个单位开始,经过8个周期后,2,400 × 1.654996 = 3,972个单位。
一份技术类新闻通讯目前有2,400名订阅者,并已连续8个月以每月6.5%的速度增长。增长率方程给出了第8个月末的订阅者数量。
订阅列表增加了1,571.99名订阅者,8个月间总增长率为65.5%。若简单地用6.5%乘以8,预测结果将是52%,比实际结果低估了13.5个百分点,这正是加法估算所遗漏的复利效应。按此速度,订阅列表每11.01个月翻一番。
| 月份 t | 订阅者数 x(t) | 本月新增 | 总乘数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 2,400.00 | N/A | 1.0000 |
| 1 | 2,556.00 | +156.00 | 1.0650 |
| 2 | 2,722.14 | +166.14 | 1.1342 |
| 3 | 2,899.08 | +176.94 | 1.2079 |
| 4 | 3,087.52 | +188.44 | 1.2865 |
| 5 | 3,288.21 | +200.69 | 1.3701 |
| 6 | 3,501.94 | +213.73 | 1.4591 |
| 7 | 3,729.57 | +227.63 | 1.5540 |
| 8 | 3,971.99 | +242.42 | 1.6550 |
表格说明: “本月新增”这一列证明了这种增长是指数式的,而非线性的。第1个月新增156.00名订阅者,第8个月新增242.66名,百分比始终稳定在6.5%,但绝对增量却增加了86.66,因为每个月的百分比都作用于比前一个月更大的基数上。“总乘数”这一列从1.0000攀升到1.6550,用这个最终数值乘以初始数量即可还原出最终结果。
倍增时间和半衰期是指数过程的两个时间常数:倍增时间是指增长中的数量达到原来两倍所需的时间,半衰期是指衰减中的数量降至原来一半所需的时间。 两者都只取决于增长率,而与初始值无关,这正是它们能够作为单一数字概括指标的原因。
倍增时间是指一个数量达到其初始值恰好2倍所需的时间。令 x(t) = 2x0 并求解t,x0会被完全消去,这正是为什么结果与数量大小无关。
t2 = ln(2) / r ≈ 0.693 / r这一形式对于连续增长是精确的。对于离散复利,精确形式为 t2 = ln(2) / ln(1 + r),而更简单的表达式会略微低估结果。
一个每月多写入4.2%日志数据的集群,其存储占用每16.85个月翻一番。0.693/r这一简便算法在此处的结果偏低0.35个月,且随着增长率上升,误差会进一步扩大。
半衰期是倍增时间的镜像概念:指一个数量降至其初始值恰好一半所需的时间。除了需要取增长率的绝对值以保证结果为正之外,公式完全相同。
t½ = ln(2) / |r|对于离散衰减,精确形式为 t½ = ln(0.5) / ln(1 + r),其中r为负值。两个对数都是负数,因此它们的商为正值。
验证结果:640 × 0.962<sup>17.89</sup> = 640 × 0.5002 = 320.1克,正好是原样本的一半。再经过17.89天后,剩余160克。
| 增长率 r | 1% | 3% | 5% | 7% | 10% |
|---|---|---|---|---|---|
| 精确值(离散) ln2 / ln(1+r) | 69.7 | 23.4 | 14.2 | 10.2 | 7.3 |
| 近似值(连续) 0.693 / r | 69.3 | 23.1 | 13.9 | 9.9 | 6.9 |
| 近似值的偏差 | −0.3 | −0.3 | −0.3 | −0.3 | −0.3 |
表格说明: 倍增时间在低增长率区间急剧下降,随后趋于平缓。从1%提高到3%,倍增时间从69.7个周期降至23.4个周期,2个百分点的提升节省了46.2个周期。而从7%提高到10%,3个百分点的提升却只节省了3.0个周期。这种关系是反比关系,而非线性关系,因此早期的增长率提升所节省的时间远多于后期。表格底行显示,随着增长率上升,0.693/r这一简便算法的结果与精确值之间的差距会不断扩大,这就是为什么指数增长率计算器应当使用对数形式。可以直接使用倍增时间计算器求解t,或使用专用半衰期工具从已知半衰期反推。
指数增长每个周期都乘以一个恒定的因子,而线性增长每个周期都增加一个恒定的数量。 这一区别使前者呈现为曲线,后者呈现为直线,并且随着时间的推移,两者之间的差距会无限扩大。
| 属性 | 线性增长 | 指数增长 |
|---|---|---|
| 方程 | x(t) = x₀ + mt | x(t) = x₀(1 + r)t |
| 每周期运算 | 增加一个固定数量m | 乘以一个固定因子1 + r |
| 增长率的表示方式 | 每周期若干单位 | 每周期百分之几 |
| 在普通坐标轴上的形状 | 直线 | 向上弯曲的J形曲线 |
| 在对数y轴上的形状 | 逐渐变平的曲线 | 直线 |
| 随时间变化的绝对增量 | 每周期恒定 | 每周期都在增长 |
| 翻倍特性 | 每次翻倍所需时间都比上一次更长 | 每次翻倍所需时间相同 |
| 长期结果 | 可预测,且受时间范围所限 | 只要时间足够长,终将超过任何线性模型 |
| 周期 t | 线性(+180) | 指数(×1.12) | 差值 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1,500.00 | 1,500.00 | +0.00 |
| 1 | 1,680.00 | 1,680.00 | +0.00 |
| 2 | 1,860.00 | 1,881.60 | +21.60 |
| 3 | 2,040.00 | 2,107.39 | +67.39 |
| 4 | 2,220.00 | 2,360.28 | +140.28 |
| 5 | 2,400.00 | 2,643.51 | +243.51 |
| 6 | 2,580.00 | 2,960.73 | +380.73 |
| 7 | 2,760.00 | 3,316.02 | +556.02 |
| 8 | 2,940.00 | 3,713.94 | +773.94 |
| 9 | 3,120.00 | 4,159.62 | +1,039.62 |
| 10 | 3,300.00 | 4,658.77 | +1,358.77 |
对比说明: 两种模型都从1,500个单位开始,并且在一个周期后都达到1,680,因为1,500的12%恰好就是线性模型所增加的180个单位。从第2个周期开始,两者出现分化。指数模型一列在第2周期领先21.60,第5周期领先243.51,第10周期领先1,358.77,此时两者的总量分别为3,300和4,658.77。线性模型一列每一行都以相同的180个单位增长,而指数模型一列的增量则从200.00增长到499.15。在一两个周期内选错模型影响不大,但在十个周期后差异就会十分显著。
指数增长可以描述6类不同的现实过程,如下方选项卡所列。每个面板都给出了该领域所使用方程的具体形式,并附有一个使用自身数值的完整计算示例。
复利是大多数人一生中最常接触到的指数增长形式,因为一个周期内计入的利息,在之后的每个周期都会继续产生利息。银行业公式 A = P(1 + r/n)nt 就是离散指数增长公式,只是将年利率分摊到每年n次复利计算中。令n = 1,该公式就恰好简化为 x(t) = x0(1 + r)t。
只要出生率和死亡率保持稳定的比例平衡,人口增长就是指数式的,因为每一代都是按自身规模的比例进行繁衍的。人口学家将该模型写作 P(t) = P0ert,并以年百分比表示r。低于2%的增长率在十年间看起来几乎是线性的,但在一个世纪的时间跨度上则明显呈指数增长。
人口增长模型可将出生率和死亡率作为独立的输入项分别处理。
细菌增长是指数式的,因为二分裂会以固定的时间间隔(称为世代时间)使细胞数量翻倍。此处便于使用的形式是 N(t) = N0 × 2t/g,其中g为世代时间,底数为2而非1 + r。这一形式仅在对数生长期(即营养物质耗尽之前)成立。
可在细菌增长计算器中更改世代时间和培养体积。
放射性衰变遵循 N(t) = N0e−λt,与连续增长方程相同,只是指数的符号相反。每种同位素都有固定的衰变常数λ,半衰期由此可求得为ln(2)/λ。衰变是速率可以被证明与现有数量成正比的典型案例,因为每个原子核都是独立衰变的。
一旦企业以“每周期百分之几”而非“每周期若干单位”来规划,市场和营收增长就会变成指数式的,因为每个周期的基数都包含了之前所新增的全部内容。以稳定速率按季度复利计算,一年内的总乘数为(1 + r)4,而不是4r。一个每季度增长8.3%的团队,在四个季度里的总增长是37.6%,而不是33.2%。
使用投资增长预测工具预测多年后的结果。
药代动力学使用完全相同的指数衰减方程,因此已公布的消除半衰期可以像放射性半衰期一样转换为衰变常数。若已知半衰期为5小时,则衰变常数为 k = ln(2)/5 = 每小时0.1386,剩余量遵循 Q(t) = Q0e−kt。下面的计算示例使用了任意设定的初始量200个单位,纯粹是为了演示该公式。
本面板仅是将指数衰减公式应用于半衰期数值的数学演示,不构成健康指导,也不对任何物质、剂量或时间安排作出任何说明。
有关速率与常数之间转换的一般情况,请参阅衰减率计算器。
连续指数增长在每一瞬间都应用增长率,使用公式 x(t) = x0ekt;而离散指数增长每个周期只完整应用一次增长率,使用公式 x(t) = x0(1 + r)t。 在两者之间做出选择,取决于所建模过程本身的性质,而不是数学上的偏好。
连续增长公式是当复利间隔趋近于零时,离散公式的极限。以12%的年利率为例,若只复利一次,总乘数为1.12。若按月复利,即 (1 + 0.12/12)12,则变为1.12683。按日复利则为1.12747。而在每一瞬间复利时,结果为 e0.12 = 1.12750,无论再怎样细分周期,结果都不会超过这个数值。连续增长方程正是复利间隔不断细分所收敛趋向的上限。
当过程确实存在明确周期时,应使用离散形式。银行在每季度最后一天计入利息、公司按季度报告营收、每年进行一次人口普查,在所有这些情况下,数量在事件之间确实保持不变,然后才发生阶跃变化。用连续模型来描述它们,相当于臆造出尚未发生的增长。
当不存在天然周期时,应使用连续形式。放射性原子核不会等到午夜才衰变,细菌也不会在整点时刻统一分裂,热量也不是按天分批离开物体的。对于这些过程,连续指数增长才是准确的描述,而离散版本只是一种近似。连续增长率k在代数运算上也更容易处理,因为指数可以相加:两段连续的时间跨度相乘为 ek·t₁ × ek·t₂ = ek(t₁+t₂)。
两种形式之间的数值差距在低增长率时很小,在高增长率时则较大。在1%的增长率下,连续结果比离散结果高出总量的约0.005%,在大多数工作中几乎无法察觉。在20%时,差异达到约1.9%,而在100%时,离散形式给出的乘数为2,连续形式给出的则是 e = 2.718,差异高达36%。因此,任何指数增长模型计算器都应明确说明其所使用的约定,本工具则将这一选择以可见的切换开关呈现出来,而不是将其隐藏。连续增长计算器更深入地介绍了连续增长率公式及其转换方式,而指数函数参考则阐述了这两种形式背后的代数原理。
图表说明: 两条曲线以相同的斜率从原点出发,这正是逻辑斯蒂种群在早期阶段与指数种群难以区分的原因,在图表的前三分之一区域,两条线几乎重合。黑色的指数曲线持续变陡并超出图表顶部,因为 x(t) = x0(1 + r)t 中没有任何因素能够使其减速。绿色的逻辑斯蒂曲线起初与其保持一致,在标出的拐点处发生弯折,也就是种群数量超过环境容纳量一半的那一刻,随后趋于平坦,靠近虚线K但永不越过。这两条曲线之间不断扩大的垂直间距,正是纯指数模型在数量相对于其上限不再算小之后所累积的误差。
指数增长假设资源是无限的,而逻辑斯蒂增长则引入了一个环境容纳量K,当数量接近该容纳量时,增长率会随之放缓。逻辑斯蒂方程将增长项乘以因子(1 − x/K),当x较小时该因子接近1,而当x接近K时则趋近于0。因此,增长会自行逐渐消退,而不会永远持续下去。
每一个现实中的指数过程最终都会停止呈指数增长。细菌培养会耗尽养分,人口会遇到食物和空间的限制,市场在大多数潜在客户购买之后就会饱和。纯粹的指数模型中不存在任何能够产生这种减速的机制,因此它只有在数量相对于制约因素仍然较小时才能准确描述现实,即上方图表左侧平坦的部分,在这一区域两条曲线几乎无法区分。
实用的原则是:在早期使用指数模型,一旦数量接近其上限就切换模型。可以使用逻辑斯蒂增长计算器为自己的数据拟合环境容纳量,或使用指数回归检验纯指数曲线与观测数据的拟合程度。
全部21个答案分布在下面5个类别中。选择一个类别即可查看其对应的问题和答案。
指数增长是指每个周期的增量与该周期开始时已有的数量成正比,而不是一个固定数量的增长方式。 以指数方式增长的数量,每个周期都会乘以相同的增长因子,因此随着数量本身的增大,绝对增量也会随之增大。
在普通坐标轴上作图时,指数增长呈现出一条起初几乎平坦、随后急剧上升的J形曲线。任何每周期增长率保持恒定百分比的过程都是指数式的,无论其单位是什么。
指数增长公式在离散周期下为 x(t) = x₀(1 + r)t,在连续增长下为 x(t) = x₀ekt。 在这两种形式中,x₀都是初始值,t是经过的时间,r是以小数表示的周期增长率,k是连续增长常数。
当 k = ln(1 + r) 时,这两种形式描述的是同一条曲线。指数增长公式只需要这三个输入值,这也是为什么指数增长计算器不需要再询问其他任何信息。
指数增长与线性增长的区别在于:线性增长每个周期增加一个恒定的数量,而指数增长每个周期乘以一个恒定的因子。 线性增长形成一条直线,而指数增长形成一条向上弯曲的曲线。
在较短的时间跨度内,两者看起来可能几乎一样。但随着t的增大,两者之间的差距会无限扩大,因为无论加法过程的步长有多大,乘法过程最终都会超过它。
增长因子是指一个数量每个周期所乘以的数字,当r为以小数表示的周期增长率时,增长因子等于1 + r。 6%的增长率对应恒定增长因子1.06,而−6%的增长率对应0.94。
大于1的增长因子会产生增长,恰好等于1则不产生变化,介于0和1之间则产生衰减。将增长因子取t次幂,即可得到整个时间跨度的总乘数,这正是增长因子计算器所给出的结果。
将百分比增长率转换为小数的方法是将百分比数值除以100。 6.5%的增长率变为0.065,240%的增长率变为2.4,−3.8%的增长率变为−0.038。
在增长率代入指数增长率公式之前,必须先完成这一转换,因为(1 + 6.5)t和(1 + 0.065)t的结果相差巨大。本页面上的计算器可以直接接受百分比数值,并在内部自动完成这一除法运算。
指数增长与指数衰减的区别在于增长率的符号:增长使用正的增长率和大于1的增长因子,而衰减使用负的增长率和介于0与1之间的增长因子。 方程本身并不改变。
指数增长曲线会无限向上弯曲。指数衰减则趋向于零,并不断接近却永远无法到达,这也是为什么衰减与增长计算器能够用同一个公式处理这两种情况。
增长率可以为负值,负的增长率会自动将指数增长方程转变为衰减方程。 输入−4%而非4%,会使增长因子变为0.96而非1.04,因此该数量每个周期都会缩小4%。
离散形式中唯一的硬性下限是 r = −100%,此时增长因子恰好为0,该数量会在一个周期内完全归零。低于−100%的增长率在离散模型中无定义,因为它们意味着损失的数量超过了现有的全部数量。
计算指数衰减使用公式 x(t) = x₀(1 − r)t,其中r为以正小数表示的每周期衰减率。 用1减去该衰减率,将结果取t次幂,然后乘以初始数量。
一份640单位的样本,每天衰减3.8%,经过10天后为 640 × 0.96210 = 640 × 0.678814 = 434.4单位。当损失是平滑发生而非按离散步骤发生时,更适合使用连续形式 x(t) = x₀e−kt。
衰变常数是 x(t) = x₀e−kt 中的连续时间速率参数k,表示瞬时的比例损失速率。 衰变常数与周期衰减率r之间的关系为 k = −ln(1 − r)。
衰变常数也可以通过已知的半衰期用 k = ln(2) / t½ 求得。因此,半衰期为9.2天的物质,其衰变常数为0.693 / 9.2 = 每天0.0753。
指数增长中的倍增时间是指在固定增长率下,一个数量达到其初始值恰好两倍所需的时间长度。 倍增时间只取决于增长率,而与初始值无关。
一个以每周期5%的速度增长的数量,无论初始值是12还是1,200万,都会在大约14.2个周期后翻倍。倍增时间在整个过程中保持不变,因此同一数量会在每一个这样长度的连续区间内再次翻倍。
指数衰减中的半衰期是指一个数量降至其初始值恰好一半所需的时间,计算公式为 t½ = ln(2) / |k|。 半衰期是倍增时间在衰减中的对应概念,使用的是速率的绝对值。
半衰期同样与初始数量无关。经过一个半衰期后剩余50%,两个半衰期后剩余25%,三个半衰期后剩余12.5%,这也是为什么该数量会不断趋近于零却永远不会到达零。
根据增长率计算倍增时间,离散复利使用 t₂ = ln(2) / ln(1 + r),连续增长则可使用更简单的 t₂ = 0.693 / r。 两者都是将2的自然对数除以增长率。
4.2%的周期增长率给出的精确结果为 ln(2) / ln(1.042) = 0.6931 / 0.04114 = 16.85个周期,而连续简便算法给出的结果为16.5个周期。连续近似值偏低,并且随着增长率上升,误差也会增大。
指数增长方程中时间可以为负值,负的t会将曲线向后推算,以估计起点之前的数值。 此时指数只是简单地变为负数,从而使增长因子发生反转。
一个以每年7%速度增长、当前为3,200的数量,五年前为 3,200 × 1.07−5 = 3,200 × 0.7130 = 2,281.6。向后推算在数学上是有效的,但它假设该增长率在更早的时间段内同样成立,而这往往是较为薄弱的假设。
使用这款指数增长计算器时,只需输入初始值、以百分比表示的增长率和时间周期数,随后即可立即读取显示出的结果。 无需点击提交按钮;每次按键后所有输出都会自动重新计算。
选择“离散”以按周期计算复利,或选择“连续”以计算平滑增长。计算器会返回最终值、增长因子、倍增时间或半衰期、代入你自己数值的公式、逐周期表格以及一条曲线图。
连续指数增长与离散指数增长的区别在于增长率应用的时机:离散增长在每个周期结束时完整应用一次增长率,而连续指数增长则在每一瞬间都应用增长率。 离散增长使用(1 + r)t,连续增长使用ekt。
在相同的数值增长率下,连续增长会得到略大的结果,因为早期新增的部分会立即开始自我增长。这一差距在1%时可以忽略不计,但在约20%以上时则较为显著。
只要输入负的增长率,这款计算器就可以作为指数衰减计算器使用。 −5%的增长率由同一个方程处理,工具会自动将第三项结果从倍增时间切换为半衰期。
曲线图会反转为下降形状,周期表格也会向下而非向上计数。因此,一个输入字段就能同时覆盖两个方向,这正是指数增长或衰减计算器应有的功能。
这款计算器是按已知条件正向求解最终值,但你可以通过已知的起始值和结束值,用 r = (x(t) / x₀)1/t − 1 反推出增长率。 这一变形公式回答了“如何根据两个观测值计算指数增长率”的问题。
一个数量在8个周期内从2,400增长到3,972,计算得 (3972 / 2400)1/8 − 1 = 1.6550.125 − 1 = 0.065,即每周期6.5%。将该增长率重新输入计算器,即可还原出最终值,从而验证求解结果。
指数增长在现实世界中的例子包括储蓄的复利、按固定周期分裂的细菌培养、不受限制的人口增长、病毒式内容传播,以及以稳定百分比复利增长的营收。 每一种情况都是每个周期乘以一个恒定的因子。
放射性衰变以及物质从系统中被清除,都是同样的数学原理,只是增长率为负。共同的要求是:速率与当前数量成正比,而不是以绝对数值固定不变。
复利就是指数增长,复利公式 A = P(1 + r/n)nt 正是离散指数增长公式,只是将增长率分摊到每年n次复利计算中。 本金在其中扮演的角色相当于x₀。
连续复利写作 A = Pert,正是连续增长方程。一个周期所获得的利息会在下一个周期继续产生利息,这种再投资正是使该过程呈乘法性质的原因。
指数式人口增长在长期内是不切实际的,因为它假设资源是无限的,而现实中没有任何环境能够无限制地提供食物、空间或能源。 纯粹的指数模型中不存在任何能够使其减速的机制。
如果时间跨度足够长,恒定的百分比增长率预测出的人口数量甚至会超过地球本身的质量。指数增长只有在实际人口数量远低于其环境限制时,才能准确描述现实。
指数增长与逻辑斯蒂增长的区别在于:逻辑斯蒂增长包含一个环境容纳量K,当数量接近该容纳量时增长率会随之放缓,而指数增长没有上限。 逻辑斯蒂增长呈现的是S形曲线,而不是J形曲线。
逻辑斯蒂方程将增长项乘以(1 − x/K),当x较小时该因子接近1,当x接近K时则接近0。逻辑斯蒂曲线与指数曲线在早期几乎完全相同,但随着数量的增长会急剧分化。