지수 성장 계산기

지수 성장이란 성장률이 현재 값에 비례하는 성장으로, 처음에는 천천히 오르다가 나중에는 급격히 위로 휘어지는 J자 곡선을 만듭니다. 공식 x(t) = x₀ × (1 + r)^t는 시작값 x₀에 매 기간 t마다 일정한 성장 계수 (1 + r)를 곱합니다. 연 10 %씩 증가하는 인구 1,000명은 1년 후 1,100명, 10년 후 2,594명이 되는데, 이는 매 기간의 성장이 이전 기간의 결과 위에 쌓이기 때문입니다.

지수 성장 공식에는 동등한 두 가지 형식이 있습니다. 이산형은 x(t) = x₀ × (1 + r)^t로, 성장이 기간마다 한 번씩 복리로 쌓일 때 사용합니다. 연속형은 x(t) = x₀ × e^(kt)로, 여기서 e는 오일러의 수(약 2.71828)이고 k는 연속 성장률입니다. 두 형식 모두 초기값 x₀로부터 시간 t에서의 값 x(t)를 구합니다. 이산 성장률 5 %는 연속 성장률 k = ln(1.05), 즉 약 0.04879에 해당합니다.

선형 성장은 매 기간 일정한 금액을 더하고, 지수 성장은 매 기간 일정한 계수를 곱합니다. 기간당 100달러씩 10기간 저축하면 선형 성장으로 1,000달러가 되지만, 같은 100달러가 기간당 5 %씩 성장하면 10기간째에 162.89달러로 늘어납니다. 비교 기간을 50기간으로 늘리면 선형 성장은 5,000달러에 그치지만 지수 성장은 1,146.74달러에 이르러, 장기적으로 선형 성장을 큰 차이로 앞지릅니다.

배가 시간은 지수적으로 성장하는 양이 두 배가 되는 데 걸리는 기간 수로, 공식 t₂ = ln(2) / ln(1 + r)로 구하며 작은 성장률에서는 약 0.693 / r로 근사할 수 있습니다. 연 7 % 성장률에서 배가 시간은 ln(2) / ln(1.07), 즉 약 10.24년입니다. 더 빠른 10 % 성장률에서는 같은 양이 단 7.27년 만에 두 배가 되는데, 이는 성장률의 작은 변화에도 배가 시간이 얼마나 민감한지를 보여줍니다.

반감기는 지수적으로 감쇠하는 양이 시작값의 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간으로, 배가 시간과 같은 구조인 t½ = ln(2) / |k| 공식을 따르며, 여기서 k는 감쇠 상수입니다. 인체 내 카페인의 반감기는 약 6시간이므로, 95 mg 복용량은 6시간 후 47.5 mg, 12시간 후 23.75 mg로 줄어듭니다. 탄소-14의 반감기는 5,730년으로, 이를 이용한 방사성 탄소 연대 측정은 최대 약 50,000년까지의 연대를 추정할 수 있습니다.

백분율을 100으로 나누면 소수 성장률이 되고, 여기에 1을 더하면 공식에서 사용하는 성장 계수가 됩니다. 성장률 5 %는 소수로 0.05, 성장 계수로 1.05가 됩니다. 감쇠를 나타내는 마이너스 3 %는 소수로 −0.03, 성장 계수로 0.97이 됩니다. 이 변환은 성장률을 t 제곱하기 전에 반드시 이루어져야 하는데, 공식은 소수 형태로만 작동하기 때문입니다.

지수 성장은 초기값 x₀에 성장 계수 (1 + r)를 기간 수 t만큼 거듭제곱한 값을 곱해서 계산합니다. 초기값 1,000, 성장률 5 %, 기간 10일 때 계산은 1,000 × 1.05¹⁰이며 값은 1,628.89입니다. 이때 성장률을 먼저 소수로 바꾸는 것이 중요합니다. 0.05 대신 5를 그대로 입력하면 완전히 다른, 잘못된 결과가 나옵니다.

지수 감쇠는 성장과 같은 방식으로 계산하지만, (1 + r) 대신 (1 − r)을 t만큼 거듭제곱해 곱하거나 연속형에서는 e^(−kt)를 사용합니다. 반감기 6시간인 카페인 95 mg 복용량은 시간 t에서 체내에 95 × 0.5^(t / 6) mg가 남습니다. 6시간 후에는 47.5 mg, 12시간 후에는 23.75 mg입니다. 감쇠율 r과 감쇠 상수 k는 모두 같은 감소 과정을 나타냅니다.

이산 지수 성장은 (1 + r)^t 공식으로 기간마다 한 번씩 복리로 쌓이고, 연속 지수 성장은 e^(kt)로 무한히 자주 복리로 쌓입니다. 일상적인 성장률에서는 두 방식의 결과가 거의 같습니다. 명목 성장률 5 %는 1년 동안 이산형으로 1.05000, 연속형으로 1.05127의 성장 계수를 만들어 약 0.13 %의 차이가 생깁니다. 이산 복리와 연속 복리의 차이는 성장률이 커질수록 벌어지며, 이는 성장률이 높은 금융 및 생물학 모델에서 더 중요해집니다.

로지스틱 성장은 상한이 없이 계속 곱해지는 지수 성장과 달리, 고정된 수용 한계 K에 가까워질수록 속도가 느려지는 S자 곡선을 따르는 성장입니다. 공식 P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt))는 단순 지수 성장에는 없는 제동 항을 추가합니다. 실제 인구, 박테리아 군집, 전염병은 대개 초기에는 지수 성장을 따르다가 자원이나 감염 가능한 대상이 줄어들면 로지스틱 성장으로 전환됩니다.

네, 지수 성장에서 시간은 음수가 될 수 있습니다. t에 음수를 대입하면 같은 공식을 거꾸로 적용해 미래값이 아닌 과거값을 구할 수 있습니다. 연 5 %로 성장해 17,103명이 된 인구는 11년 전에는 17,103 × 1.05^(−11), 즉 10,000명이었습니다. 음의 시간이 정확히 성립하려면 그 전체 기간 동안 성장률이 일정하게 유지되어야 하므로, 먼 과거로의 추정은 확실한 값이 아니라 대략적인 추정치일 뿐입니다.

지수 성장의 실제 사례로는 예금과 투자의 복리, 이분법을 통한 박테리아 번식, 확산 초기 단계의 바이러스 발생 등이 있습니다. 컴퓨터 칩의 트랜지스터 수가 약 2년마다 두 배가 된다는 무어의 법칙도 잘 알려진 예입니다. 같은 공식에 음의 성장률을 대입한 지수 감쇠는 방사성 붕괴, 방사성 탄소 연대 측정, 그리고 카페인이 일정한 비율로 혈중에서 빠져나가는 것과 같은 약물 대사에서 나타납니다.