घातांकीय वृद्धि कैलकुलेटर

घातांकीय वृद्धि वह वृद्धि है जिसकी दर वर्तमान मान के समानुपाती होती है, जिससे एक J-आकार वक्र बनता है जो शुरू में धीरे-धीरे बढ़ता है और फिर तेज़ी से ऊपर मुड़ जाता है। सूत्र x(t) = x₀ × (1 + r)^t हर समय अवधि t में प्रारंभिक मान x₀ को एक स्थिर वृद्धि गुणक (1 + r) से गुणा करता है। 10% वार्षिक दर से बढ़ने वाली 1,000 की जनसंख्या एक वर्ष बाद 1,100 और दस वर्ष बाद 2,594 तक पहुँच जाती है, क्योंकि हर अवधि की वृद्धि पिछली अवधि पर आधारित होती है।

घातांकीय वृद्धि सूत्र के दो समान रूप हैं। विविक्त रूप x(t) = x₀ × (1 + r)^t है, जिसका उपयोग तब होता है जब वृद्धि प्रति अवधि एक बार चक्रवृद्धि होती है। सतत रूप x(t) = x₀ × e^(kt) है, जहाँ e ऑयलर की संख्या है, लगभग 2.71828, और k सतत वृद्धि दर है। दोनों रूप प्रारंभिक मान x₀ से समय t पर मान x(t) देते हैं। 5% की विविक्त दर एक सतत दर k = ln(1.05) के बराबर है, जो लगभग 0.04879 है।

रैखिक वृद्धि हर अवधि में एक निश्चित राशि जोड़ती है, जबकि घातांकीय वृद्धि हर अवधि में एक निश्चित गुणक से गुणा करती है। 10 अवधियों तक प्रति अवधि $100 बचाने पर रैखिक वृद्धि में $1,000 मिलते हैं, लेकिन वही $100 प्रति अवधि 5% की दर से बढ़कर 10वीं अवधि तक $162.89 हो जाता है। तुलना को 50 अवधियों तक बढ़ाने पर रैखिक वृद्धि $5,000 तक पहुँचती है जबकि घातांकीय वृद्धि $1,146.74 तक पहुँचती है, और लंबी अवधि में रैखिक वृद्धि को बड़े अंतर से पीछे छोड़ देती है।

दोगुना होने का समय वह अवधियों की संख्या है जो किसी घातांकीय रूप से बढ़ती राशि को दोगुना होने में लगती है, और इसे सूत्र t₂ = ln(2) / ln(1 + r) से निकाला जाता है, जो छोटी दरों के लिए लगभग 0.693 / r के बराबर होता है। 7% वार्षिक वृद्धि दर पर, दोगुना होने का समय ln(2) / ln(1.07), यानी लगभग 10.24 वर्ष निकलता है। 10% की तेज़ दर पर, वही राशि केवल 7.27 वर्ष में दोगुनी हो जाती है, जो दिखाता है कि दोगुना होने का समय वृद्धि दर में छोटे बदलावों के प्रति कितना संवेदनशील होता है।

अर्ध-आयु वह समय है जो घातांकीय क्षय से गुजर रही किसी राशि को अपने प्रारंभिक मान के आधे तक गिरने में लगता है, और यह दोगुना होने के समय जैसी ही संरचना का पालन करती है: t½ = ln(2) / |k|, जहाँ k क्षय स्थिरांक है। मानव शरीर में कैफीन की अर्ध-आयु लगभग 6 घंटे होती है, इसलिए 95 mg की खुराक 6 घंटे बाद 47.5 mg और 12 घंटे बाद 23.75 mg तक गिर जाती है। कार्बन-14 की अर्ध-आयु 5,730 वर्ष है, जिससे रेडियोकार्बन डेटिंग लगभग 50,000 वर्ष तक की आयु का अनुमान लगा सकती है।

प्रतिशत को 100 से भाग देकर दशमलव वृद्धि दर प्राप्त करें, फिर सूत्र में उपयोग होने वाला वृद्धि गुणक पाने के लिए 1 जोड़ें। 5% की वृद्धि दर दशमलव में 0.05 और वृद्धि गुणक के रूप में 1.05 बनती है। ऋण 3% की दर, जो क्षय को दर्शाती है, दशमलव में ऋण 0.03 और वृद्धि गुणक के रूप में 0.97 बनती है। यह रूपांतरण दर को t की घात तक उठाने से पहले करना ज़रूरी है, क्योंकि सूत्र केवल दशमलव रूप के साथ काम करता है।

घातांकीय वृद्धि की गणना प्रारंभिक मान x₀ को वृद्धि गुणक (1 + r) की t घात से गुणा करके की जाती है, जहाँ t समय अवधियों की संख्या है। 1,000 के प्रारंभिक मान, 5% की वृद्धि दर और 10 समय अवधियों के लिए, गणना 1,000 × 1.05¹⁰ है, जो 1,628.89 के बराबर है। यहाँ दर को पहले दशमलव में बदलना महत्वपूर्ण है; 0.05 के स्थान पर 5 डालने से पूरी तरह अलग और गलत परिणाम मिलेगा।

घातांकीय क्षय की गणना वृद्धि जैसी ही की जाती है, लेकिन (1 + r) के बजाय (1 − r) को t घात से गुणा किया जाता है, या सतत रूप के लिए e^(−kt) का उपयोग किया जाता है। 6 घंटे की अर्ध-आयु वाली 95 mg कैफीन की खुराक समय t पर शरीर में 95 × 0.5^(t / 6) mg छोड़ती है। 6 घंटे बाद यह 47.5 mg और 12 घंटे बाद 23.75 mg होती है। क्षय दर r और क्षय स्थिरांक k दोनों एक ही घटती हुई प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

विविक्त घातांकीय वृद्धि सूत्र (1 + r)^t का उपयोग करके प्रति अवधि एक बार चक्रवृद्धि होती है, जबकि सतत घातांकीय वृद्धि e^(kt) का उपयोग करके अनंत बार चक्रवृद्धि होती है। सामान्य दरों पर दोनों लगभग समान परिणाम देते हैं। 5% की नाममात्र दर पर, एक वर्ष में विविक्त रूप से वृद्धि गुणक 1.05000 और सतत रूप से 1.05127 मिलता है, जो लगभग 0.13% का अंतर है। दर बढ़ने के साथ विविक्त और सतत चक्रवृद्धि के बीच यह अंतर बड़ा होता जाता है, जो उच्च-दर वाले वित्तीय और जैविक मॉडलों में अधिक महत्वपूर्ण होता है।

लॉजिस्टिक वृद्धि वह वृद्धि है जो S-आकार वक्र का अनुसरण करती है और एक निश्चित वहन क्षमता K के पास पहुँचने पर धीमी हो जाती है, जबकि घातांकीय वृद्धि की कोई ऊपरी सीमा नहीं होती और वह सदा गुणा होती रहती है। सूत्र P(t) = K / (1 + ((K − P₀) / P₀) × e^(−rt)) एक ब्रेक लगाने वाला पद जोड़ता है जो सामान्य घातांकीय वृद्धि में नहीं होता। वास्तविक जनसंख्याएँ, बैक्टीरिया कॉलोनियाँ और वायरल महामारियाँ आमतौर पर शुरुआत में घातांकीय वृद्धि का पालन करती हैं, फिर संसाधन या संवेदनशील मेज़बान कम होने पर लॉजिस्टिक वृद्धि में बदल जाती हैं।

हाँ, घातांकीय वृद्धि में समय ऋणात्मक हो सकता है। t के लिए ऋणात्मक मान का उपयोग करने पर वही सूत्र पीछे की ओर भविष्य के मान के बजाय पिछले मान का पता लगाने के लिए प्रक्षेपित होता है। 5% वार्षिक दर से बढ़ने वाली 17,103 लोगों की जनसंख्या ग्यारह वर्ष पहले 17,103 × 1.05^(−11), यानी 10,000 लोग थी। ऋणात्मक समय केवल तभी सही ढंग से काम करता है जब वृद्धि दर उस पूरी अवधि में स्थिर रही हो, इसलिए लंबे समय के पीछे के प्रक्षेपण अनुमानित होते हैं, निश्चित नहीं।

घातांकीय वृद्धि के वास्तविक उदाहरणों में बचत और निवेश पर चक्रवृद्धि ब्याज, द्विविभाजन के माध्यम से बैक्टीरिया का प्रजनन, और शुरुआती फैलाव चरण में वायरल प्रकोप शामिल हैं। मूर का नियम, जो बताता है कि कंप्यूटर चिप्स पर ट्रांज़िस्टरों की संख्या लगभग हर दो वर्ष में दोगुनी हो जाती है, एक और जाना-माना उदाहरण है। घातांकीय क्षय, जो उसी सूत्र का ऋणात्मक-दर संस्करण है, रेडियोधर्मी क्षय, रेडियोकार्बन डेटिंग और दवा चयापचय में दिखाई देता है, जैसे कैफीन का रक्त से एक स्थिर प्रतिशत दर पर निकलना।