फाइनल वैल्यू, ग्रोथ फैक्टर, डबलिंग टाइम और प्लॉट की गई कर्व को टाइप करते ही अपडेट होते देखने के लिए एक इनिशियल वैल्यू, एक ग्रोथ रेट और पीरियड्स की संख्या दर्ज करें।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ कैलकुलेटर
इनपुट
समय शून्य पर मात्रा
%
नेगेटिव वैल्यू डिके की गणना करती हैं
साल, महीने, दिन, कोई भी यूनिट
परिणाम
फाइनल वैल्यू x(t)1,967.157% पर 10 पीरियड्स के बाद
ग्रोथ फैक्टर1.0700t पर कुल ×1.967
डबलिंग टाइम10.24दोगुना होने में लगने वाले पीरियड्स
चरण-दर-चरण सब्स्टिट्यूशन
नीचे दी गई हर लाइन ऊपर दिए गए फील्ड में मौजूद संख्याओं को एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला में, एक बार में एक ऑपरेशन करते हुए, सब्स्टिट्यूट करती है।
फॉर्मूलाx(t) = x0 × (1 + r)t
सब्स्टिट्यूट करेंx(10) = 1,000 × (1 + 0.07)10
ग्रोथ फैक्टरx(10) = 1,000 × (1.07)10
पावर का मान निकालेंx(10) = 1,000 × 1.967151
परिणामx(10) = 1,967.15
ग्रोथ कर्व
पीरियड-दर-पीरियड वैल्यू
पीरियड t
वैल्यू x(t)
परिवर्तन
0
1,000.00
N/A
1
1,070.00
+70.00
2
1,144.90
+74.90
3
1,225.04
+80.14
4
1,310.80
+85.75
5
1,402.55
+91.76
6
1,500.73
+98.18
7
1,605.78
+105.05
8
1,718.19
+112.40
9
1,838.46
+120.27
10
1,967.15
+128.69
कर्व और टेबल क्या दिखाते हैं: डिफ़ॉल्ट सेटिंग्स पर, 1,000 यूनिट्स जो हर पीरियड 7% की दर से बढ़ रही हैं, 10 पीरियड्स के लिए, प्लॉट की गई लाइन पीरियड 0 पर लगभग सपाट शुरू होती है और दाईं ओर लगातार तीखी होती जाती है, अंत में 1,967.15 पर पहुंचती है। कर्व कभी नीचे की ओर नहीं मुड़ती और कभी सीधी नहीं होती, यही एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की दृश्य पहचान है। बगल की टेबल बताती है क्यों: चेंज कॉलम पीरियड 1 में +70.00 से शुरू होकर पीरियड 10 तक +128.72 पर पहुंचता है, यानी वही 7% रेट हर पीरियड एक बड़ी एब्सोल्यूट मात्रा जोड़ती है क्योंकि जिस आधार पर यह लागू होती है वह बढ़ता जाता है। रेट को नेगेटिव सेट करें तो वही लाइन उलटकर शून्य की ओर गिरती डिके कर्व बन जाती है, और इस तरह यह ग्राफिंग एक्सपोनेंशियल फंक्शंस कैलकुलेटर एक ही कंट्रोल से दोनों दिशाओं को कवर करता है।
परिभाषा
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ क्या है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ वह ग्रोथ है जिसमें हर पीरियड में जोड़ी गई मात्रा पहले से मौजूद मात्रा के समानुपाती होती है, इसलिए मात्रा को एक स्थिर मात्रा से बढ़ाने के बजाय एक स्थिर ग्रोथ फैक्टर से गुणा किया जाता है।
यही एक गुण एक्सपोनेंशियल ग्रोथ को बाकी हर तरह की ग्रोथ से अलग करता है। 4% सालाना कमाने वाला सेविंग्स बैलेंस अपने बीसवें साल में पहले साल की तुलना में ज्यादा डॉलर कमाता है, भले ही रेट कभी नहीं बदली, क्योंकि एक बड़े बैलेंस का 4% एक बड़ी संख्या होती है।
समय के मुकाबले प्लॉट करने पर, एक्सपोनेंशियल ग्रोथ एक J-आकार की कर्व बनाती है। कर्व का बायां हिस्सा लगभग सपाट दिखता है और इसे धीमे, लीनियर बदलाव समझने की भूल आसानी से हो सकती है। दायां हिस्सा तेजी से ऊपर उठता है और लगातार तीखा होता जाता है, क्योंकि किसी भी बिंदु पर स्लोप उस बिंदु की ऊंचाई के समानुपाती होता है। शुद्ध मॉडल में कोई ऊपरी मोड़ या सीमा नहीं है। जब तक t बढ़ता रहता है, कर्व चढ़ती रहती है। एक एक्सपोनेंशियल कर्व कैलकुलेटर इस आकार को तीनों इनपुट से सीधे खींचता है, जिससे मोड़ संख्याओं के एक कॉलम से अनुमान लगाने के बजाय एक नज़र में दिखाई देता है।
इसके पीछे का इंजन है स्थिर ग्रोथ फैक्टर: वह निश्चित संख्या जिससे मात्रा हर पीरियड में गुणा होती है। 4% रेट का मतलब है 1.04 का ग्रोथ फैक्टर, जो हर पीरियड एक बार, हमेशा के लिए लागू होता है। इसके दस पीरियड्स कुल 1.0410 = 1.4802 का मल्टीप्लायर बनाते हैं, 1.40 का नहीं, और 0.0802 का यह अंतर वही कंपाउंडिंग है जिसे मल्टीप्लिकेटिव मॉडल पकड़ता है और एडिटिव मॉडल छोड़ देता है। कोई भी एक्सपोनेंशियल इंक्रीज़ कैलकुलेटर यही एक ऑपरेशन बार-बार करता है।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ उल्टी दिशा में भी काम करती है। रेट को नेगेटिव बनाने से ग्रोथ फैक्टर 0 और 1 के बीच की संख्या बन जाता है, और ऐसी संख्या से बार-बार गुणा करने पर मात्रा बढ़ने के बजाय घटती है। J-कर्व पलटकर एक गिरती हुई कर्व बन जाती है जो शून्य के पास पहुंचते-पहुंचते सपाट हो जाती है। समीकरण बिल्कुल नहीं बदलता, केवल r का चिह्न बदलता है, और इसीलिए ग्रोथ और डिके को दो अलग विषयों के बजाय एक ही विषय माना जाता है। एक्सपोनेंशियल इंक्रीज़ फॉर्मूला और डिके फॉर्मूला एक ही एक्सप्रेशन है जिसे अलग चिह्न के साथ पढ़ा जाता है।
याद रखने लायक ज़रूरी शर्त है समानुपातिकता। कोई प्रक्रिया तब एक्सपोनेंशियल होती है जब उसकी रेट प्रति पीरियड यूनिट्स के बजाय प्रति पीरियड प्रतिशत में बताई जाती है। हर महीने 500 यूनिट जोड़ने वाली फैक्ट्री एक्सपोनेंशियल रूप से नहीं बढ़ रही, चाहे संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो। एक कल्चर जिसकी सेल काउंट हर घंटे 8% बढ़ती है, वह एक्सपोनेंशियल है, चाहे संख्या कितनी भी छोटी क्यों न हो।
समीकरण
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला है x(t) = x0(1 + r)t डिस्क्रीट पीरियड्स में लागू ग्रोथ के लिए, और x(t) = x0ekt कंटीन्यूअस रूप से लागू ग्रोथ के लिए। दोनों कर्व के एक ही परिवार का वर्णन करते हैं; वे केवल इस बात में अलग हैं कि रेट कितनी बार लागू होती है। इस साइट पर हर ग्रोथ फॉर्मूला कैलकुलेटर इन दो एक्सप्रेशन में से किसी एक पर बना है।
डिस्क्रीट, प्रति पीरियड कंपाउंडेड
x(t) = x0(1 + r)t
इसका उपयोग तब करें जब ग्रोथ पहचान योग्य चरणों में होती है: सालाना ब्याज भुगतान, तिमाही राजस्व आंकड़ा, सालाना जनगणना गिनती। रेट हर पूरे पीरियड के अंत में एक बार लागू होती है।
कंटीन्यूअस, हर पल कंपाउंडेड
x(t) = x0ekt
इसका उपयोग तब करें जब ग्रोथ का कोई स्वाभाविक स्टेप साइज़ न हो: रेडियोएक्टिव डिके, बैक्टीरियल कल्चर, ऊष्मा की हानि। स्थिरांक e = 2.71828… जैसे-जैसे पीरियड की लंबाई शून्य के पास पहुंचती है वैसे-वैसे कंपाउंडिंग की सीमा है।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ समीकरण में वेरिएबल्स
संकेत
नाम
यह क्या दर्शाता है
उदाहरण
x(t)
फाइनल वैल्यू
t पीरियड्स बीत जाने के बाद की मात्रा। यह गणना का आउटपुट है।
3,972 सब्सक्राइबर
x0
इनिशियल वैल्यू
t = 0 पर मात्रा, किसी भी ग्रोथ के लागू होने से पहले। कभी-कभी P, N₀ या a लिखा जाता है।
2,400 सब्सक्राइबर
r
पीरियोडिक ग्रोथ रेट
प्रति पीरियड आनुपातिक बदलाव, दशमलव के रूप में। ग्रोथ के लिए पॉज़िटिव, डिके के लिए नेगेटिव।
0.065 (यानी 6.5%)
k
कंटीन्यूअस ग्रोथ कॉन्स्टेंट
e-आधारित रूप में उपयोग की जाने वाली इंस्टेंटेनियस रेट। इसे ग्रोथ कॉन्स्टेंट भी कहा जाता है।
0.06297 प्रति पीरियड
t
एलैप्स्ड टाइम
कितने पीरियड्स बीत चुके हैं। यूनिट वही है जिसमें रेट बताई गई थी।
8 महीने
e
यूलर संख्या
स्थिर स्थिरांक 2.718281828…, नैचुरल एक्सपोनेंशियल ग्रोथ का आधार।
2.71828
टेबल क्या दिखाती है: ये छह पंक्तियां ग्रोथ इक्वेशन के दोनों रूपों में मौजूद हर संकेत को कवर करती हैं, साथ में वह वैल्यू भी जो उस संकेत की इस पेज पर आगे दिए गए हल किए गए उदाहरण में होती है। छह में से केवल तीन, x0, r और t, ही कभी हाथ से दर्ज की जाती हैं। x(t) परिणाम है, जबकि e एक स्थिर स्थिरांक है और k, r से निकाला जाता है न कि दिया जाता है।
दोनों रूप k = ln(1 + r) के जरिए जुड़ते हैं, और उलटी दिशा में r = ek − 1 के जरिए। इसलिए प्रति पीरियड 6.5% की डिस्क्रीट रेट, ln(1.065) = 0.06297 के कंटीन्यूअस ग्रोथ कॉन्स्टेंट के बराबर होती है, और किसी भी वैल्यू को अपने-अपने समीकरण में डालने पर बिल्कुल वही कर्व मिलती है। इसी कन्वर्शन के कारण एक एक्सपोनेंशियल इक्वेशन सॉल्वर को दो के बजाय एक ही टूल माना जा सकता है।
डायग्राम क्या दिखाता है: यह डायग्राम एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला को इसके चार कार्यकारी हिस्सों में तोड़ता है। बाईं ओर, x(t) आउटपुट है, t पीरियड्स बीत जाने के बाद पहुंची गई मात्रा। बराबर के चिह्न के ठीक बाद वाला x0 टर्म वह इनिशियल वैल्यू है जिससे गणना शुरू होती है। कोष्ठक में (1 + r) टर्म, जिसे हरे ब्रेस से चिह्नित किया गया है, ग्रोथ फैक्टर है: वह एक संख्या जिससे मात्रा को हर पीरियड में एक बार गुणा किया जाता है। सबसे दाईं ओर ऊपर उठा हुआ t एक्सपोनेंट है, और यह गिनता है कि वह गुणन कितनी बार होता है। इसलिए फॉर्मूला को बाएं से दाएं पढ़ने पर यह वाक्य बनता है "फाइनल वैल्यू शुरुआती वैल्यू को ग्रोथ फैक्टर से, t बार गुणा करने के बराबर है।"
साइन कन्वेंशन
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ बनाम एक्सपोनेंशियल डिके
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और एक्सपोनेंशियल डिके के बीच अंतर सिर्फ रेट का चिह्न है, और कुछ नहीं: ग्रोथ में पॉज़िटिव r और 1 से अधिक ग्रोथ फैक्टर होता है, जबकि डिके में नेगेटिव r और 0 तथा 1 के बीच ग्रोथ फैक्टर होता है। एक ही समीकरण दोनों मामलों को कवर करता है, यही कारण है कि ग्रोथ और डिके कैलकुलेटर को दो अलग मोड की ज़रूरत नहीं पड़ती।
लिखने पर, डिके फॉर्मूला है x(t) = x0(1 − r)t जब r को पॉज़िटिव डिके रेट के रूप में दिया जाता है, या x(t) = x0(1 + r)t जब r पहले से ही अपना नेगेटिव चिह्न लिए हुए है। दोनों बिल्कुल एक जैसा परिणाम देते हैं: 4% प्रति पीरियड हानि के साथ, (1 − 0.04) और (1 + (−0.04)) दोनों 0.96 हैं। कंटीन्यूअस रूप है x(t) = x0e−kt, जहां एक्सपोनेंट में माइनस वही काम करता है जो डिस्क्रीट संस्करण में 1 से कम फैक्टर करता है।
1 से अधिक ग्रोथ फैक्टर मात्रा को बढ़ाता है। ठीक 1 इसे स्थिर रखता है। 0 और 1 के बीच यह डिके करता है। यही एक संख्या पूरी कर्व की दिशा तय करती है।
साइन कन्वेंशन इसलिए मायने रखता है क्योंकि डिके लिखने के दोनों तरीकों को दोबारा लागू करना आसान गलती है। जिस फील्ड का लेबल पहले से ही "डिके रेट" कहता है उसमें r = −4 दर्ज करने से (1 − (−0.04)) = 1.04 मिलता है और नतीजा ग्रोथ बन जाता है। यह कैलकुलेटर इस अस्पष्टता को एक ही साइन वाली ग्रोथ रेट मांगकर सुलझाता है और कुछ नहीं: ग्रोथ के लिए 4 टाइप करें, डिके के लिए −4, और टूल पहले मामले में डबलिंग टाइम और दूसरे में हाफ-लाइफ रिपोर्ट करता है। किसी भी एक्सपोनेंशियल ग्रोथ डिके कैलकुलेटर को एक कन्वेंशन चुनना और उसे स्पष्ट बताना पड़ता है, और एक ही साइन वाली फील्ड सबसे कम गड़बड़ी वाला कन्वेंशन है।
दोनों दिशाएं अपनी सीमाओं पर अलग व्यवहार करती हैं, भले ही वे एक समीकरण साझा करती हों। एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की कोई ऊपरी सीमा नहीं है; जैसे-जैसे t बढ़ता है, x(t) बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है। एक्सपोनेंशियल डिके की एक निचली सीमा है जिस तक वह कभी नहीं पहुंचती: 0.96 से बार-बार गुणा करने पर मात्रा हमेशा के लिए छोटी होती जाती है लेकिन कभी शून्य नहीं बनती, इसलिए कर्व क्षैतिज अक्ष के पास एसिम्प्टोटिकली पहुंचती है। व्यवहार में एक डिके गणना को आमतौर पर पूरा होने तक चलाने के बजाय किसी सीमा पर रोक दिया जाता है, 1% शेष, या एक पहचान योग्य यूनिट।
एक सीमा को स्पष्ट रूप से बताना ज़रूरी है। डिस्क्रीट मॉडल में, r = −100% ग्रोथ फैक्टर को बिल्कुल 0 पर सेट कर देता है, और मात्रा एक ही पीरियड में शून्य पर गिरकर वहीं रह जाती है। −100% से कम रेट का मतलब है पूरी मात्रा से भी ज्यादा गंवाना, इसलिए डिस्क्रीट डिके और ग्रोथ कैलकुलेटर इन्हें साइन-पलटा जवाब देने के बजाय अपरिभाषित मानता है। कंटीन्यूअस रूप में ऐसी कोई सीमा नहीं है, क्योंकि e−kt किसी भी सीमित k और t के लिए हमेशा पॉज़िटिव रहता है।
तरीका
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की गणना कैसे करें
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की गणना करने के लिए, प्रतिशत रेट को दशमलव में बदलें, ग्रोथ फैक्टर पाने के लिए 1 जोड़ें, उस फैक्टर को बीते हुए पीरियड्स की पावर तक उठाएं, फिर इनिशियल वैल्यू से गुणा करें। नीचे दिए गए 5 चरण एक्सपोनेंशियल रेट ऑफ ग्रोथ फॉर्मूला को उसी क्रम में लागू करते हैं जिस क्रम में एक कैलकुलेटर इसका मूल्यांकन करता है।
इनिशियल वैल्यू लिखें
x₀ की पहचान करें, वह मात्रा जो किसी भी ग्रोथ से पहले मौजूद है। यह t = 0 पर वैल्यू है, और बाद की हर वैल्यू इसी का एक गुणज है।
ग्रोथ रेट को दशमलव में बदलें
प्रतिशत रेट को 100 से भाग दें। प्रति पीरियड 6.5% की रेट r = 0.065 बन जाती है। चिह्न बनाए रखें: 6.5% की गिरावट r = −0.065 बनती है।
ग्रोथ फैक्टर पाने के लिए 1 जोड़ें
1 + r की गणना करें। r = 0.065 के साथ ग्रोथ फैक्टर 1.065 है। यह एक संख्या है जिससे मात्रा हर पीरियड में एक बार गुणा होती है।
ग्रोथ फैक्टर को t की पावर तक उठाएं
(1 + r)^t की गणना करें, जहां t बीते हुए पीरियड्स की गिनती करता है। 8 पीरियड्स में 1.065 के फैक्टर के साथ, 1.065^8 = 1.654996। यह पूरे अंतराल के लिए कुल मल्टीप्लायर है।
इनिशियल वैल्यू को कुल मल्टीप्लायर से गुणा करें
x(t) पाने के लिए x₀ को चरण 4 के परिणाम से गुणा करें। 2,400 यूनिट्स से शुरू होकर, 2,400 × 1.654996 = 8 पीरियड्स बाद 3,972 यूनिट्स।
हल किया गया उदाहरण, न्यूज़लेटर सब्सक्राइबर
एक टेक्निकल न्यूज़लेटर के 2,400 सब्सक्राइबर हैं और लगातार आठ महीनों से हर महीने 6.5% जुड़ रहे हैं। ग्रोथ की रेट का समीकरण आठवें महीने के अंत में सब्सक्राइबर काउंट देता है।
लिस्ट में 1,571.99 सब्सक्राइबर की बढ़ोतरी हुई, यानी आठ महीनों में कुल 65.5% की वृद्धि। 6.5% को 8 से गुणा करने पर 52% का अनुमान मिलता, जो परिणाम को 13.5 प्रतिशत अंकों से कम आंकता है, यही वह कंपाउंडिंग है जिसे एक एडिटिव अनुमान छोड़ देता है। इस रेट पर लिस्ट हर 11.01 महीनों में दोगुनी होती है।
महीने-दर-महीने ग्रोथ: प्रति महीने 6.5% पर 2,400 सब्सक्राइबर
महीना t
सब्सक्राइबर x(t)
उस महीने जुड़े
कुल मल्टीप्लायर
0
2,400.00
N/A
1.0000
1
2,556.00
+156.00
1.0650
2
2,722.14
+166.14
1.1342
3
2,899.08
+176.94
1.2079
4
3,087.52
+188.44
1.2865
5
3,288.21
+200.69
1.3701
6
3,501.94
+213.73
1.4591
7
3,729.57
+227.63
1.5540
8
3,971.99
+242.42
1.6550
टेबल क्या दिखाती है: "जुड़े" कॉलम इस बात का प्रमाण है कि यह ग्रोथ लीनियर नहीं बल्कि एक्सपोनेंशियल है। महीना 1 में 156.00 सब्सक्राइबर जुड़ते हैं और महीना 8 में 242.66। प्रतिशत 6.5% पर स्थिर रहा जबकि एब्सोल्यूट बढ़त प्रति महीना 86.66 बढ़ गई, क्योंकि हर महीने का प्रतिशत पिछले महीने से बड़े आधार पर लागू होता है। कुल मल्टीप्लायर कॉलम 1.0000 से बढ़कर 1.6550 तक जाता है, और यह अंतिम आंकड़ा शुरुआती काउंट से गुणा होकर जवाब को दोबारा पैदा करता है।
टाइम कॉन्स्टेंट
डबलिंग टाइम और हाफ-लाइफ को समझना
डबलिंग टाइम और हाफ-लाइफ किसी एक्सपोनेंशियल प्रक्रिया के दो टाइम कॉन्स्टेंट हैं: डबलिंग टाइम यह बताता है कि बढ़ती हुई मात्रा को अपने आकार का दोगुना होने में कितना समय लगता है, और हाफ-लाइफ यह बताता है कि घटती हुई मात्रा को अपने आकार का आधा होने में कितना समय लगता है। दोनों केवल रेट पर निर्भर करते हैं, कभी शुरुआती वैल्यू पर नहीं, और यही बात इन्हें सिंगल-नंबर सारांश के रूप में उपयोगी बनाती है।
डबलिंग टाइम
डबलिंग टाइम वह समय है जो किसी मात्रा को अपनी शुरुआती वैल्यू के ठीक 2× तक पहुंचने में लगता है। x(t) = 2x0 सेट करके t के लिए हल करने पर x0 पूरी तरह हट जाता है, इसीलिए जवाब आकार से स्वतंत्र होता है।
t2 = ln(2) / r ≈ 0.693 / r
यह रूप कंटीन्यूअस ग्रोथ के लिए बिल्कुल सटीक है। डिस्क्रीट कंपाउंडिंग के लिए सटीक संस्करण t2 = ln(2) / ln(1 + r) है, और सरल एक्सप्रेशन थोड़ा कम अनुमान बन जाता है।
हर महीने 4.2% ज्यादा लॉग डेटा लिखने वाला एक क्लस्टर हर 16.85 महीनों में अपना स्टोरेज फुटप्रिंट दोगुना कर लेता है। 0.693/r शॉर्टकट यहां 0.35 महीने कम आता है, और रेट बढ़ने के साथ इसकी गलती और बढ़ती जाती है।
हाफ-लाइफ
हाफ-लाइफ इसका दर्पण-प्रतिबिंब है: वह समय जो किसी मात्रा को अपनी शुरुआती वैल्यू के ठीक आधे तक गिरने में लगता है। रेट का मैग्नीट्यूड लेने के अलावा फॉर्मूला बिल्कुल एक जैसा है, इसलिए परिणाम पॉज़िटिव ही रहता है।
t½ = ln(2) / |r|
डिस्क्रीट डिके के लिए सटीक रूप t½ = ln(0.5) / ln(1 + r) है, जिसमें r नेगेटिव है। दोनों लॉगारिथ्म नेगेटिव हैं, इसलिए इनका भागफल पॉज़िटिव है।
उदाहरण, आइसोटोप सैंपल
सैंपल: 640 g, प्रति दिन 3.8% घट रहा हैकंटीन्यूअस: 0.693 / 0.038 = 18.24 दिनडिस्क्रीट: ln(0.5) / ln(0.962) = −0.693 / −0.038740t½ = 17.89 दिन
परिणाम की जांच: 640 × 0.962<sup>17.89</sup> = 640 × 0.5002 = 320.1 g, जो मूल सैंपल का आधा है। दूसरे 17.89 दिनों के बाद, 160 g शेष रहता है।
ग्रोथ रेट के अनुसार डबलिंग टाइम, 2× तक पहुंचने के लिए आवश्यक पीरियड्स
ग्रोथ रेट r
1%
3%
5%
7%
10%
सटीक, डिस्क्रीट ln2 / ln(1+r)
69.7
23.4
14.2
10.2
7.3
अनुमानित, कंटीन्यूअस 0.693 / r
69.3
23.1
13.9
9.9
6.9
अनुमान की कमी
−0.3
−0.3
−0.3
−0.3
−0.3
टेबल क्या दिखाती है: कम रेट पर डबलिंग टाइम तेज़ी से घटता है और फिर सपाट हो जाता है। 1% से 3% पर जाने से डबलिंग टाइम 69.7 पीरियड्स से घटकर 23.4 हो जाता है, यानी 2 प्रतिशत अंकों के लिए 46.2 पीरियड्स की बचत। 7% से 10% पर जाने से केवल 3.0 पीरियड्स की बचत होती है, वह भी 3 प्रतिशत अंकों के लिए। यह संबंध रेसिप्रोकल है, लीनियर नहीं, इसलिए शुरुआती रेट सुधार बाद के सुधारों से कहीं ज्यादा समय बचाते हैं। सबसे नीचे की पंक्ति दिखाती है कि रेट बढ़ने के साथ 0.693/r शॉर्टकट सटीक आंकड़े से लगातार और नीचे गिरता जाता है, इसीलिए एक एक्सपोनेंशियल रेट कैलकुलेटर को लॉगारिथमिक रूप का उपयोग करना चाहिए। t के लिए सीधे हल करने के लिए डबलिंग टाइम कैलकुलेटर का उपयोग करें, या किसी ज्ञात हाफ-लाइफ से काम करने के लिए समर्पित हाफ-लाइफ टूल का उपयोग करें।
तुलना
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ बनाम लीनियर ग्रोथ
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ हर पीरियड एक स्थिर फैक्टर से गुणा करती है, जबकि लीनियर ग्रोथ हर पीरियड एक स्थिर मात्रा जोड़ती है। यह फर्क पहले मामले में एक कर्व और दूसरे में एक सीधी रेखा पैदा करता है, और समय बढ़ने के साथ इनके बीच का अंतर बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है।
दोनों ग्रोथ मॉडलों के बीच संरचनात्मक अंतर
गुण
लीनियर ग्रोथ
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ
समीकरण
x(t) = x₀ + mt
x(t) = x₀(1 + r)t
प्रति-पीरियड ऑपरेशन
एक स्थिर मात्रा m जोड़ती है
एक स्थिर फैक्टर 1 + r से गुणा करती है
रेट किस रूप में बताई जाती है
यूनिट्स प्रति पीरियड
प्रतिशत प्रति पीरियड
सामान्य अक्षों पर आकार
सीधी रेखा
ऊपर की ओर मुड़ने वाली J-कर्व
लॉग y-अक्ष पर आकार
सपाट होने वाली कर्व
सीधी रेखा
समय के साथ एब्सोल्यूट बढ़ोतरी
हर पीरियड स्थिर
हर पीरियड बढ़ती है
डबलिंग का व्यवहार
हर डबलिंग पिछली से ज्यादा समय लेती है
हर डबलिंग समान समय लेती है
लॉन्ग-रन परिणाम
पूर्वानुमेय और सीमा तक बंधा हुआ
पर्याप्त समय मिलने पर किसी भी लीनियर मॉडल को पीछे छोड़ देता है
t = 10 पर लीनियर3,300हर पीरियड 180 यूनिट्स जुड़ती हैं
t = 10 पर एक्सपोनेंशियल4,658.77हर पीरियड ×1.12 लागू होता है
t = 10 पर अंतर+1,358.77दोनों मॉडल एक ही 1,500 यूनिट्स से शुरू हुए
दोनों मॉडल 1,500 यूनिट्स से, लीनियर 180/पीरियड जोड़ता है, एक्सपोनेंशियल 1.12 से गुणा करता है
पीरियड t
लीनियर (+180)
एक्सपोनेंशियल (×1.12)
अंतर
0
1,500.00
1,500.00
+0.00
1
1,680.00
1,680.00
+0.00
2
1,860.00
1,881.60
+21.60
3
2,040.00
2,107.39
+67.39
4
2,220.00
2,360.28
+140.28
5
2,400.00
2,643.51
+243.51
6
2,580.00
2,960.73
+380.73
7
2,760.00
3,316.02
+556.02
8
2,940.00
3,713.94
+773.94
9
3,120.00
4,159.62
+1,039.62
10
3,300.00
4,658.77
+1,358.77
तुलना क्या दिखाती है: दोनों मॉडल 1,500 यूनिट्स से शुरू होते हैं और दोनों एक पीरियड बाद 1,680 पर पहुंचते हैं, क्योंकि 1,500 का 12% ठीक वही 180 यूनिट्स है जो लीनियर मॉडल जोड़ता है। पीरियड 2 से आगे वे अलग होने लगते हैं। एक्सपोनेंशियल कॉलम पीरियड 2 पर 21.60, पीरियड 5 पर 243.51, और पीरियड 10 पर 1,358.77 से आगे निकल जाता है, जहां कुल आंकड़े 3,300 के मुकाबले 4,658.77 हैं। लीनियर कॉलम हर पंक्ति में उतनी ही 180 यूनिट्स से बढ़ता है जबकि एक्सपोनेंशियल कॉलम की वृद्धि 200.00 से बढ़कर 499.15 हो जाती है। गलत मॉडल चुनना एक या दो पीरियड में हानिरहित है और दस पीरियड में गंभीर।
अनुप्रयोग
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ नीचे दिए गए टैब में सूचीबद्ध वास्तविक प्रक्रिया की 6 अलग-अलग श्रेणियों का वर्णन करती है। हर पैनल उस क्षेत्र में उपयोग किए जाने वाले समीकरण का विशिष्ट रूप देता है, इसके बाद अपने खुद के आंकड़ों के साथ एक पूरी तरह हल की गई गणना।
कंपाउंड इंटरेस्ट एक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ता है
कंपाउंड इंटरेस्ट सबसे आम एक्सपोनेंशियल ग्रोथ है जिससे ज़्यादातर लोग कभी न कभी मिलते हैं, क्योंकि एक पीरियड में क्रेडिट किया गया ब्याज बाद के हर पीरियड में ब्याज कमाता है। बैंकिंग फॉर्मूला A = P(1 + r/n)nt डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला ही है जिसमें सालाना रेट को साल में n कंपाउंडिंग इवेंट्स में बांटा जाता है। n = 1 सेट करने पर यह ठीक x(t) = x0(1 + r)t बन जाता है।
$7,200 मूलधन · 5.4% सालाना · 15 साल A = 7,200 × 1.05415 = 7,200 × 2.200945 = $15,846.80 अर्जित ब्याज: $8,646.80, मूलधन से भी ज्यादा
पॉपुलेशन ग्रोथ तब एक्सपोनेंशियल होती है जब जन्म और मृत्यु दर एक स्थिर आनुपातिक संतुलन बनाए रखते हैं, क्योंकि हर पीढ़ी अपने ही आकार के अनुपात में प्रजनन करती है। जनसांख्यिकी विशेषज्ञ मॉडल को P(t) = P0ert लिखते हैं और r को सालाना प्रतिशत के रूप में बताते हैं। 2% से कम रेट एक दशक में लगभग लीनियर दिखती है और एक सदी में स्पष्ट रूप से एक्सपोनेंशियल।
18,500 निवासी · 1.4% प्रति वर्ष · 25 साल P(25) = 18,500 × 1.01425 = 18,500 × 1.415627 = 26,189 निवासी डबलिंग टाइम: ln(2) / ln(1.014) = 49.9 साल
पॉपुलेशन ग्रोथ मॉडल जन्म और मृत्यु दर को अलग-अलग इनपुट के रूप में संभालता है।
बैक्टीरियल कल्चर एक तय शेड्यूल पर दोगुने होते हैं
बैक्टीरियल ग्रोथ एक्सपोनेंशियल इसलिए है क्योंकि बाइनरी फिशन एक तय अंतराल पर, जिसे जनरेशन टाइम कहा जाता है, सेल काउंट को दोगुना कर देता है। यहां सुविधाजनक रूप है N(t) = N0 × 2t/g, जहां g जनरेशन टाइम है और आधार 1 + r के बजाय 2 है। यह आकार तभी तक बना रहता है जब तक लॉग फेज़ चलती है, पोषक तत्वों की कमी होने से पहले।
रेडियोएक्टिव डिके नेगेटिव रेट वाली एक्सपोनेंशियल ग्रोथ है
रेडियोएक्टिव डिके N(t) = N0e−λt का पालन करता है, जो एक्सपोनेंट के चिह्न को पलटा हुआ कंटीन्यूअस ग्रोथ का वही समीकरण है। हर आइसोटोप का एक निश्चित डिके कॉन्स्टेंट λ होता है, और हाफ-लाइफ इससे ln(2)/λ के रूप में निकलती है। डिके वह पाठ्यपुस्तक मामला है जहां रेट साबित तौर पर मौजूद मात्रा के समानुपाती होती है, क्योंकि हर न्यूक्लियस स्वतंत्र रूप से डिके करता है।
जब ग्रोथ प्रतिशत में बताई जाती है तो राजस्व कंपाउंड होता है
मार्केट और राजस्व ग्रोथ उसी पल एक्सपोनेंशियल बन जाती है जब कोई कंपनी प्रति पीरियड यूनिट्स के बजाय प्रति पीरियड प्रतिशत में योजना बनाती है, क्योंकि हर पीरियड का आधार उससे पहले जोड़ी गई हर चीज़ को शामिल करता है। एक स्थिर रेट पर तिमाही कंपाउंडिंग एक साल में (1 + r)4 का कुल मल्टीप्लायर बनाती है, 4r नहीं। हर तिमाही 8.3% बढ़ने वाली टीम चार तिमाहियों में 33.2% नहीं, 37.6% जोड़ती है।
फार्माकोकाइनेटिक हाफ-लाइफ पर डिके फॉर्मूला कैसे लागू होता है
फार्माकोकाइनेटिक्स ठीक वही एक्सपोनेंशियल डिके इक्वेशन उपयोग करता है, इसलिए प्रकाशित एलिमिनेशन हाफ-लाइफ उसी तरह डिके कॉन्स्टेंट में बदलती है जैसे रेडियोएक्टिव हाफ-लाइफ बदलती है। 5 घंटे की हाफ-लाइफ दी जाने पर, डिके कॉन्स्टेंट k = ln(2)/5 = 0.1386 प्रति घंटा है, और शेष मात्रा Q(t) = Q0e−kt का पालन करती है। नीचे दी गई हल की गई गणना केवल फॉर्मूला दिखाने के लिए 200 यूनिट्स की एक मनमानी शुरुआती मात्रा का उपयोग करती है।
हाफ-लाइफ 5 घंटे → k = ln(2) / 5 = 0.13863 प्रति घंटा Q(12) = 200 × e−0.13863 × 12 = 200 × 0.18951 = 37.9 यूनिट्स बीती हुई हाफ-लाइफ्स: 12 / 5 = 2.4 → 2−2.4 = मूल का 0.1895
यह पैनल हाफ-लाइफ के आंकड़े पर लागू एक्सपोनेंशियल डिके फॉर्मूला का एक गणितीय प्रदर्शन है। यह स्वास्थ्य संबंधी सलाह नहीं है, और यह किसी भी पदार्थ, मात्रा या शेड्यूल के बारे में कोई दावा नहीं करता।
रेट और कॉन्स्टेंट के बीच कन्वर्ज़न के सामान्य मामले के लिए, डिके रेट कैलकुलेटर देखें।
मॉडल चुनाव
कंटीन्यूअस बनाम डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ
कंटीन्यूअस एक्सपोनेंशियल ग्रोथ हर पल रेट लागू करती है और x(t) = x0ekt का उपयोग करती है, जबकि डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ पूरी रेट को हर पीरियड एक बार लागू करती है और x(t) = x0(1 + r)t का उपयोग करती है। दोनों में से चुनना गणितीय पसंद का नहीं बल्कि मॉडल की जा रही प्रक्रिया का सवाल है।
कंटीन्यूअस ग्रोथ फॉर्मूला डिस्क्रीट फॉर्मूला की वह सीमा है जब कंपाउंडिंग अंतराल सिकुड़कर शून्य के पास पहुंच जाता है। 12% सालाना रेट लें और इसे एक बार कंपाउंड करें, तो कुल मल्टीप्लायर 1.12 है। इसे महीने में कंपाउंड करें, (1 + 0.12/12)12 के रूप में, तो यह 1.12683 बन जाता है। रोज़ाना करने पर 1.12747 मिलता है। हर पल करने पर e0.12 = 1.12750 मिलता है, और आगे कितना भी उपविभाजन इससे आगे नहीं ले जाता। कंटीन्यूअस ग्रोथ इक्वेशन वह सीमा है जिस पर बारीक से बारीक कंपाउंडिंग जाकर मिलती है।
डिस्क्रीट रूप का उपयोग तब करें जब प्रक्रिया में वास्तव में पीरियड्स हों। हर तिमाही के आखिरी दिन ब्याज क्रेडिट करने वाला बैंक, तिमाही आधार पर राजस्व रिपोर्ट करने वाली कंपनी, साल में एक बार होने वाली जनगणना। इन सभी में मात्रा वाकई इवेंट्स के बीच स्थिर रहती है और फिर एक साथ बदलती है। इन्हें कंटीन्यूअस रूप से मॉडल करना ऐसी ग्रोथ गढ़ता है जो अभी हुई ही नहीं है।
कंटीन्यूअस रूप का उपयोग तब करें जब कोई स्वाभाविक पीरियड मौजूद न हो। रेडियोएक्टिव न्यूक्लियाई डिके के लिए आधी रात का इंतज़ार नहीं करते, बैक्टीरिया घंटे बजते ही एक साथ विभाजित नहीं होते, और ऊष्मा किसी वस्तु से रोज़ाना किश्तों में नहीं निकलती। इनके लिए, कंटीन्यूअस एक्सपोनेंशियल ग्रोथ सटीक विवरण है और डिस्क्रीट संस्करण एक अनुमान मात्र है। कंटीन्यूअस ग्रोथ रेट k के साथ बीजगणितीय रूप से काम करना भी आसान है, क्योंकि एक्सपोनेंट जुड़ते हैं: लगातार दो अंतराल इस तरह गुणा होते हैं ek·t₁ × ek·t₂ = ek(t₁+t₂)।
दोनों रूपों के बीच का संख्यात्मक अंतर कम रेट पर छोटा और ज्यादा रेट पर बड़ा होता है। 1% रेट पर कंटीन्यूअस परिणाम डिस्क्रीट परिणाम से कुल का लगभग 0.005% ज्यादा होता है। ज्यादातर काम में यह पकड़ में ही नहीं आता। 20% पर यह अंतर करीब 1.9% तक पहुंच जाता है, और 100% पर डिस्क्रीट रूप 2 का मल्टीप्लायर देता है जबकि कंटीन्यूअस रूप e = 2.718 देता है, यानी 36% का फर्क। इसलिए किसी भी एक्सपोनेंशियल ग्रोथ मॉडल कैलकुलेटर को यह बताना चाहिए कि वह कौन सा कन्वेंशन उपयोग करता है, और यह टूल इस चुनाव को छिपाने के बजाय एक दिखाई देने वाले टॉगल के रूप में सामने रखता है। कंटीन्यूअस ग्रोथ रेट फॉर्मूला और इसके कन्वर्ज़न को कंटीन्यूअस ग्रोथ कैलकुलेटर पर और गहराई से कवर किया गया है, और एक्सपोनेंशियल फंक्शन संदर्भ दोनों रूपों के पीछे का बीजगणित बताता है।
मॉडल की सीमाएं
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ बनाम लॉजिस्टिक ग्रोथ
डायग्राम क्या दिखाता है: दोनों कर्व मूल बिंदु से एक ही स्लोप के साथ निकलती हैं, यही कारण है कि लॉजिस्टिक पॉपुलेशन अपने शुरुआती चरणों में एक्सपोनेंशियल पॉपुलेशन से अलग नहीं पहचानी जा सकती। चार्ट के पहले तिहाई हिस्से में दोनों लाइनें लगभग छूती हैं। काली एक्सपोनेंशियल कर्व लगातार तीखी होती जाती है और प्लॉट के ऊपरी हिस्से से बाहर निकल जाती है, क्योंकि x(t) = x0(1 + r)t में कुछ भी इसे धीमा नहीं कर सकता। हरी लॉजिस्टिक कर्व शुरुआत में इसका पीछा करती है, चिह्नित इन्फ्लेक्शन पॉइंट पर मुड़ती है, वह क्षण जब पॉपुलेशन कैरींग कैपेसिटी के आधे हिस्से को पार करती है, और फिर डैश्ड K लाइन के सामने सपाट हो जाती है, इसे कभी पार किए बिना। दोनों कर्व के बीच चौड़ा होता ऊर्ध्वाधर अंतर वह गलती है जो एक शुद्ध एक्सपोनेंशियल मॉडल तब जमा करता है जब मात्रा अपनी सीमा के मुकाबले छोटी रहना बंद कर देती है।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ असीमित संसाधन मानती है, जबकि लॉजिस्टिक ग्रोथ एक कैरींग कैपेसिटी K जोड़ती है जो मात्रा के इसके पास पहुंचने पर रेट को धीमा कर देती है। लॉजिस्टिक इक्वेशन ग्रोथ टर्म को फैक्टर (1 − x/K) से गुणा करती है, जो x के छोटे होने पर 1 के पास रहता है और x के K के पास पहुंचने पर 0 की ओर सिकुड़ता है। इसलिए ग्रोथ हमेशा चलते रहने के बजाय खुद-ब-खुद फीकी पड़ जाती है।
हर वास्तविक एक्सपोनेंशियल प्रक्रिया आखिरकार एक्सपोनेंशियल रहना बंद कर देती है। बैक्टीरियल कल्चर अपने पोषक तत्व खत्म कर लेते हैं, पॉपुलेशन भोजन और स्थान की सीमाओं से टकराती है, मार्केट तब सैचुरेट हो जाता है जब ज्यादातर संभावित ग्राहक खरीदारी कर चुके होते हैं। शुद्ध एक्सपोनेंशियल मॉडल में ऐसा कोई तंत्र नहीं है जो कभी यह मंदी पैदा कर सके, इसलिए यह वास्तविकता का सही वर्णन तभी करता है जब मात्रा उसे सीमित करने वाली किसी भी चीज़ के मुकाबले छोटी हो, ऊपर दिए गए डायग्राम का सपाट बायां हिस्सा, जहां दोनों कर्व एक-दूसरे से अलग नहीं दिखतीं।
व्यावहारिक नियम है शुरुआत में एक्सपोनेंशियल मॉडल का उपयोग करना और मात्रा के अपनी सीमा के करीब आते ही स्विच कर देना। अपने खुद के डेटा पर लॉजिस्टिक ग्रोथ कैलकुलेटर से कैरींग कैपेसिटी फिट करें, या एक्सपोनेंशियल रिग्रेशन का उपयोग करके देखें कि एक सादा एक्सपोनेंशियल कर्व अवलोकनों से कितनी अच्छी तरह मेल खाती है।
21 सवाल
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सभी 21 जवाब नीचे दी गई 5 श्रेणियों में हैं। इसके सवाल और जवाब देखने के लिए एक श्रेणी चुनें।
फॉर्मूला और परिभाषाएं
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ क्या है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ वह ग्रोथ है जिसमें प्रति पीरियड बढ़ोतरी उस पीरियड की शुरुआत में मौजूद मात्रा के समानुपाती होती है, न कि एक स्थिर मात्रा। एक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ने वाली मात्रा को हर पीरियड उसी ग्रोथ फैक्टर से गुणा किया जाता है, इसलिए मात्रा खुद बड़ी होने के साथ एब्सोल्यूट बढ़ोतरी भी बड़ी होती जाती है।
सामान्य अक्षों पर प्लॉट करने पर, एक्सपोनेंशियल ग्रोथ एक J-आकार की कर्व बनाती है जो लगभग सपाट शुरू होकर तेज़ी से ऊपर उठती है। प्रति पीरियड स्थिर प्रतिशत रेट वाली कोई भी प्रक्रिया एक्सपोनेंशियल होती है, चाहे यूनिट कुछ भी हो।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला क्या है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला है x(t) = x₀(1 + r)t डिस्क्रीट पीरियड्स के लिए, और x(t) = x₀ekt कंटीन्यूअस ग्रोथ के लिए। दोनों संस्करणों में x₀ इनिशियल वैल्यू है, t बीता हुआ समय है, r दशमलव के रूप में पीरियोडिक रेट है, और k कंटीन्यूअस ग्रोथ कॉन्स्टेंट है।
दोनों रूप एक ही कर्व का वर्णन करते हैं जब k = ln(1 + r) होता है। एक्सपोनेंशियल ग्रोथ के फॉर्मूला को केवल इन तीन इनपुट की ज़रूरत होती है, इसीलिए एक एक्सपोनेंशियल ग्रोथ कैलकुलेटर और कुछ नहीं मांगता।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और लीनियर ग्रोथ में क्या अंतर है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और लीनियर ग्रोथ के बीच अंतर यह है कि लीनियर ग्रोथ हर पीरियड एक स्थिर मात्रा जोड़ती है जबकि एक्सपोनेंशियल ग्रोथ हर पीरियड एक स्थिर फैक्टर से गुणा करती है। लीनियर ग्रोथ एक सीधी रेखा बनाती है; एक्सपोनेंशियल ग्रोथ ऊपर की ओर मुड़ने वाली कर्व बनाती है।
छोटे अंतरालों में दोनों लगभग एक जैसे दिख सकते हैं। t बढ़ने के साथ अंतर बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है, क्योंकि एक मल्टीप्लिकेटिव प्रक्रिया आखिरकार किसी भी एडिटिव प्रक्रिया को पीछे छोड़ देती है, चाहे एडिटिव स्टेप कितना भी बड़ा क्यों न हो।
ग्रोथ फैक्टर क्या है?
ग्रोथ फैक्टर वह संख्या है जिससे किसी मात्रा को हर पीरियड गुणा किया जाता है, जो 1 + r के बराबर होती है जब r दशमलव के रूप में पीरियोडिक ग्रोथ रेट है। 6% रेट एक स्थिर ग्रोथ फैक्टर 1.06 देती है, और −6% रेट 0.94 देती है।
1 से अधिक ग्रोथ फैक्टर ग्रोथ पैदा करता है, ठीक 1 कोई बदलाव नहीं पैदा करता, और 0 तथा 1 के बीच डिके पैदा करता है। ग्रोथ फैक्टर को t की पावर तक उठाने पर पूरे अंतराल का कुल मल्टीप्लायर मिलता है, जो एक ग्रोथ फैक्टर कैलकुलेटर रिपोर्ट करता है।
मैं प्रतिशत ग्रोथ रेट को दशमलव में कैसे बदलूं?
आप प्रतिशत ग्रोथ रेट को दशमलव में बदलने के लिए प्रतिशत को 100 से भाग देते हैं। 6.5% की रेट 0.065 बन जाती है, 240% की रेट 2.4 बन जाती है, और −3.8% की रेट −0.038 बन जाती है।
यह कन्वर्ज़न रेट के एक्सपोनेंशियल ग्रोथ रेट फॉर्मूला में दाखिल होने से पहले होना ज़रूरी है, क्योंकि (1 + 6.5)t और (1 + 0.065)t में बहुत बड़ा अंतर है। इस पेज पर मौजूद कैलकुलेटर सीधे प्रतिशत स्वीकार करता है और अंदर ही भाग कर लेता है।
ग्रोथ बनाम डिके
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और एक्सपोनेंशियल डिके में क्या अंतर है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और एक्सपोनेंशियल डिके के बीच अंतर रेट का चिह्न है: ग्रोथ पॉज़िटिव रेट और 1 से अधिक ग्रोथ फैक्टर उपयोग करती है, जबकि डिके नेगेटिव रेट और 0 तथा 1 के बीच ग्रोथ फैक्टर उपयोग करती है। समीकरण खुद नहीं बदलता।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ बिना किसी सीमा के ऊपर की ओर कर्व बनाती है। एक्सपोनेंशियल डिके शून्य की ओर गिरती है और कभी वहां पहुंचे बिना उसके पास पहुंचती है, इसीलिए एक डिके और ग्रोथ कैलकुलेटर दोनों मामलों को एक ही फॉर्मूला से चला सकता है।
क्या ग्रोथ रेट नेगेटिव हो सकती है?
ग्रोथ रेट नेगेटिव हो सकती है, और नेगेटिव रेट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ इक्वेशन को अपने-आप डिके इक्वेशन में बदल देती है। 4% के बजाय −4% दर्ज करने से ग्रोथ फैक्टर 1.04 के बजाय 0.96 बन जाता है, इसलिए मात्रा प्रति पीरियड 4% सिकुड़ती है।
डिस्क्रीट रूप में एक ही सख्त सीमा है r = −100%, जो ग्रोथ फैक्टर को बिल्कुल 0 पर सेट कर देती है और मात्रा को एक ही पीरियड में मिटा देती है। −100% से कम रेट डिस्क्रीट मॉडल के लिए अपरिभाषित हैं क्योंकि इनका मतलब है मौजूद पूरी मात्रा से भी ज्यादा गंवाना।
मैं एक्सपोनेंशियल डिके की गणना कैसे करूं?
आप एक्सपोनेंशियल डिके की गणना x(t) = x₀(1 − r)t से करते हैं, जहां r प्रति पीरियड डिके रेट है, जो एक पॉज़िटिव दशमलव के रूप में व्यक्त की जाती है। रेट को 1 से घटाएं, उस परिणाम को t की पावर तक उठाएं, फिर शुरुआती मात्रा से गुणा करें।
640-यूनिट का एक सैंपल जो 10 दिनों तक प्रति दिन 3.8% घट रहा है, वह 640 × 0.96210 = 640 × 0.678814 = 434.4 यूनिट्स देता है। कंटीन्यूअस रूप x(t) = x₀e−kt तब बेहतर है जब हानि डिस्क्रीट स्टेप्स के बजाय सहजता से होती है।
डिके कॉन्स्टेंट क्या है?
डिके कॉन्स्टेंट x(t) = x₀e−kt में कंटीन्यूअस-टाइम रेट पैरामीटर k है, जो हानि की इंस्टेंटेनियस आनुपातिक रेट को व्यक्त करता है। डिके कॉन्स्टेंट, पीरियोडिक डिके रेट r से k = −ln(1 − r) के जरिए जुड़ता है।
डिके कॉन्स्टेंट को किसी ज्ञात हाफ-लाइफ से k = ln(2) / t½ के जरिए भी निकाला जा सकता है। इसलिए 9.2-दिन की हाफ-लाइफ वाले पदार्थ का डिके कॉन्स्टेंट 0.693 / 9.2 = 0.0753 प्रति दिन होता है।
डबलिंग टाइम और हाफ-लाइफ
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ में डबलिंग टाइम क्या है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ में डबलिंग टाइम वह समय अवधि है जो किसी मात्रा को एक स्थिर ग्रोथ रेट पर अपनी शुरुआती वैल्यू के ठीक दोगुने तक पहुंचने में लगती है। डबलिंग टाइम केवल रेट पर निर्भर करता है, कभी शुरुआती वैल्यू पर नहीं।
प्रति पीरियड 5% बढ़ने वाली मात्रा लगभग 14.2 पीरियड्स में दोगुनी हो जाती है, चाहे यह 12 से शुरू हो या 12 मिलियन से। डबलिंग टाइम पूरी प्रक्रिया में स्थिर रहता है, इसलिए वही मात्रा उतनी ही लंबाई के हर आगामी अंतराल में फिर से दोगुनी हो जाती है।
एक्सपोनेंशियल डिके में हाफ-लाइफ क्या है?
एक्सपोनेंशियल डिके में हाफ-लाइफ वह समय है जो किसी मात्रा को अपनी शुरुआती वैल्यू के ठीक आधे तक गिरने में लगता है, जिसकी गणना t½ = ln(2) / |k| से की जाती है। हाफ-लाइफ, डबलिंग टाइम का डिके समकक्ष है और रेट के मैग्नीट्यूड का उपयोग करता है।
हाफ-लाइफ भी शुरुआती मात्रा से स्वतंत्र होती है। एक हाफ-लाइफ के बाद 50% शेष रहता है, दो के बाद 25%, और तीन के बाद 12.5%, इसीलिए मात्रा शून्य के पास पहुंचती है लेकिन वहां तक पहुंचती नहीं।
मैं ग्रोथ रेट से डबलिंग टाइम की गणना कैसे करूं?
आप ग्रोथ रेट से डबलिंग टाइम की गणना डिस्क्रीट कंपाउंडिंग के लिए t₂ = ln(2) / ln(1 + r) से करते हैं, या कंटीन्यूअस ग्रोथ के लिए सरल t₂ = 0.693 / r से। दोनों 2 के नैचुरल लॉग को एक रेट से भाग देते हैं।
4.2% की पीरियोडिक रेट ln(2) / ln(1.042) = 0.6931 / 0.04114 = ठीक 16.85 पीरियड्स देती है, जबकि कंटीन्यूअस शॉर्टकट 16.5 पीरियड्स लौटाता है। कंटीन्यूअस सन्निकटन कम आता है, और रेट बढ़ने के साथ इसकी गलती बढ़ती जाती है।
क्या एक्सपोनेंशियल ग्रोथ इक्वेशन में समय नेगेटिव हो सकता है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ इक्वेशन में समय नेगेटिव हो सकता है, और नेगेटिव t कर्व को पीछे की ओर प्रोजेक्ट करके शुरुआती बिंदु से पहले की वैल्यू का अनुमान लगाता है। एक्सपोनेंट बस नेगेटिव बन जाता है, जिससे ग्रोथ फैक्टर उलट जाता है।
प्रति वर्ष 7% बढ़ने वाली 3,200 की मात्रा पांच साल पहले 3,200 × 1.07−5 = 3,200 × 0.7130 = 2,281.6 थी। पीछे की ओर प्रोजेक्शन गणितीय रूप से मान्य है लेकिन यह मानता है कि पहले के अंतराल में भी वही रेट लागू थी, जो अक्सर कमज़ोर धारणा होती है।
कैलकुलेटर का उपयोग
मैं इस एक्सपोनेंशियल ग्रोथ कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करूं?
आप इस एक्सपोनेंशियल ग्रोथ कैलकुलेटर का उपयोग एक इनिशियल वैल्यू, प्रतिशत के रूप में एक ग्रोथ रेट, और टाइम पीरियड्स की संख्या दर्ज करके करते हैं, फिर तुरंत दिखने वाले परिणाम पढ़ते हैं। कोई सबमिट बटन नहीं है; हर आउटपुट हर कीस्ट्रोक पर दोबारा गणना करता है।
पीरियड-दर-पीरियड कंपाउंडिंग के लिए डिस्क्रीट चुनें या स्मूद ग्रोथ के लिए कंटीन्यूअस। कैलकुलेटर फाइनल वैल्यू, ग्रोथ फैक्टर, डबलिंग टाइम या हाफ-लाइफ, आपकी अपनी संख्याओं को दिखाता एक सब्स्टिट्यूट किया गया फॉर्मूला, एक पीरियड-दर-पीरियड टेबल, और एक प्लॉट की गई कर्व लौटाता है।
कंटीन्यूअस और डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ में क्या अंतर है?
कंटीन्यूअस और डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ के बीच अंतर यह है कि ग्रोथ कब लागू होती है: डिस्क्रीट ग्रोथ पूरी रेट को हर पीरियड के अंत में एक बार लागू करती है, जबकि कंटीन्यूअस एक्सपोनेंशियल ग्रोथ इसे हर पल लागू करती है। डिस्क्रीट ग्रोथ (1 + r)t का उपयोग करती है और कंटीन्यूअस ग्रोथ ekt का उपयोग करती है।
कंटीन्यूअस ग्रोथ एक ही संख्यात्मक रेट के लिए थोड़ा बड़ा परिणाम लौटाती है, क्योंकि शुरुआत में जोड़ी गई मात्रा तुरंत खुद बढ़ना शुरू कर देती है। यह अंतर 1% पर नगण्य होता है और लगभग 20% से ऊपर उल्लेखनीय।
क्या यह कैलकुलेटर एक्सपोनेंशियल डिके कैलकुलेटर के रूप में भी काम करता है?
यह कैलकुलेटर तब एक्सपोनेंशियल डिके कैलकुलेटर के रूप में काम करता है जब भी आप नेगेटिव ग्रोथ रेट दर्ज करते हैं। −5% की रेट को उसी समीकरण से संभाला जाता है, और टूल अपने-आप अपना तीसरा रीडआउट डबलिंग टाइम से हाफ-लाइफ में बदल देता है।
प्लॉट की गई कर्व उलटकर गिरने वाला आकार बन जाती है और पीरियड टेबल ऊपर के बजाय नीचे की ओर गिनती करती है। इसलिए एक ही फील्ड दोनों दिशाओं को कवर करती है, जो एक एक्सपोनेंशियल ग्रोथ या डिके कैलकुलेटर से अपेक्षित है।
क्या यह कैलकुलेटर फाइनल वैल्यू के बजाय ग्रोथ रेट के लिए हल कर सकता है?
यह कैलकुलेटर आगे की दिशा में फाइनल वैल्यू के लिए हल करता है, लेकिन आप किसी ज्ञात शुरुआत और अंत से r = (x(t) / x₀)1/t − 1 के जरिए ग्रोथ रेट निकाल सकते हैं। यह पुनर्व्यवस्था दो देखी गई वैल्यू से "एक्सपोनेंशियल ग्रोथ रेट की गणना कैसे करें" का जवाब देती है।
8 पीरियड्स में 2,400 से 3,972 तक बढ़ने वाली मात्रा (3972 / 2400)1/8 − 1 = 1.6550.125 − 1 = 0.065, यानी प्रति पीरियड 6.5% देती है। उस रेट को वापस कैलकुलेटर में दर्ज करें और फाइनल वैल्यू फिर से बन जाती है, जो इस हल की पुष्टि करती है।
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ के वास्तविक दुनिया के उदाहरण क्या हैं?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ के वास्तविक दुनिया के उदाहरणों में सेविंग्स पर कंपाउंड इंटरेस्ट, एक तय शेड्यूल पर विभाजित होने वाले बैक्टीरियल कल्चर, अनियंत्रित पॉपुलेशन वृद्धि, वायरल कंटेंट शेयरिंग, और एक स्थिर प्रतिशत पर कंपाउंड होता राजस्व शामिल हैं। हर एक प्रति पीरियड एक स्थिर फैक्टर से गुणा होता है।
रेडियोएक्टिव डिके और किसी सिस्टम से किसी पदार्थ का उन्मूलन नेगेटिव रेट के साथ वही गणित है। सामान्य शर्त है एक ऐसी रेट जो निरपेक्ष रूप में स्थिर होने के बजाय वर्तमान मात्रा के समानुपाती हो।
क्या कंपाउंड इंटरेस्ट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ का उदाहरण है?
कंपाउंड इंटरेस्ट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ है, और कंपाउंड इंटरेस्ट फॉर्मूला A = P(1 + r/n)nt डिस्क्रीट एक्सपोनेंशियल ग्रोथ फॉर्मूला ही है जिसमें रेट को साल में n कंपाउंडिंग इवेंट्स में बांटा जाता है। मूलधन x₀ की भूमिका निभाता है।
कंटीन्यूअस कंपाउंडिंग को A = Pert लिखा जाता है, जो ठीक कंटीन्यूअस ग्रोथ इक्वेशन है। एक पीरियड में अर्जित ब्याज अगले पीरियड में ब्याज कमाता है, और यही रीइन्वेस्टमेंट प्रक्रिया को मल्टीप्लिकेटिव बनाता है।
लंबी अवधि में एक्सपोनेंशियल पॉपुलेशन ग्रोथ को अवास्तविक क्यों माना जाता है?
लंबी अवधि में एक्सपोनेंशियल पॉपुलेशन ग्रोथ अवास्तविक इसलिए मानी जाती है क्योंकि यह असीमित संसाधन मानती है, और कोई भी वास्तविक वातावरण भोजन, स्थान या ऊर्जा बिना किसी सीमा के नहीं देता। शुद्ध एक्सपोनेंशियल मॉडल में ऐसा कोई तंत्र नहीं है जो इसे कभी धीमा कर सके।
पर्याप्त दूर तक बढ़ाए जाने पर, एक स्थिर प्रतिशत रेट ऐसी पॉपुलेशन की भविष्यवाणी करती है जो ग्रह के द्रव्यमान से भी ज्यादा हो जाती है। एक्सपोनेंशियल ग्रोथ वास्तविक पॉपुलेशन का सही वर्णन तभी करती है जब वे अपने वातावरण की सीमाओं से काफी नीचे रहती हैं।
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और लॉजिस्टिक ग्रोथ में क्या अंतर है?
एक्सपोनेंशियल ग्रोथ और लॉजिस्टिक ग्रोथ में अंतर यह है कि लॉजिस्टिक ग्रोथ में एक कैरींग कैपेसिटी K शामिल होती है जो मात्रा के इसके पास पहुंचने पर रेट को धीमा कर देती है, जबकि एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की कोई सीमा नहीं होती। लॉजिस्टिक ग्रोथ J-आकार के बजाय S-आकार की कर्व का पालन करती है।
लॉजिस्टिक इक्वेशन ग्रोथ टर्म को (1 − x/K) से गुणा करती है, जो x के छोटे होने पर 1 के पास और x के K के पास होने पर 0 के पास होने वाला फैक्टर है। लॉजिस्टिक और एक्सपोनेंशियल कर्व शुरुआत में लगभग एक जैसी होती हैं और मात्रा बढ़ने के साथ तेज़ी से अलग हो जाती हैं।
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